Quadratische Gleichungen - Sonderfälle

Question

Hey.

Eigentlich behandeln wir gerade im Unterricht Sonderfälle von quadratischen Gleichungen, z.B.:

(x-2) * (x-4) = 0

x² - 4x - 2x + 8 = 0

Das man halt immer so weitererrechenet mit +- Wurzel usw. also ausführlich mit der Formel.

 

Da haben wir geübt wie man das gekürzt rechnet:

(x - 2) * (x - 4) = 0

x1 = 2 ; x2 = 4

Man muss ja einfach mit dem x-Wert immer auf die 0 kommen

Das kann ich auch.

Doch dann hatten wir am Ende irgendwie Aufgaben die ich einfach nicht verstanden habe, ich habe 0 Ahnung was die die ganze Zeit gerechnet haben bzw. was wir rechnen sollten da es jeder für sich machen solte.

Deshalb habe ich mir ein paar von den Aufgaben abgeschrieben welche wir verglichen hatten mit der Lösung.

 

3.) 5x² + 20x = 0

4.) 1,4x² = 70x

5.) 0,56x = 1,12x

6.) x²/25 = 4

7.) x^6 - x^5 = 0

Lösungen:

3.) 0 / -4

4.) 0 / 50

5.) 0

6.) 10 / -10

7.) 0 / 1

Man soll ja sicher wieder gucken was reinpasst oder? Kann man das irgendwie ausrechnen oder muss man

einfach ausprobieren?

Danke

Answer 1

Bei 3) kannst du x ausklammern und erhältst:

5 x ² + 20 x = 0

<=> x * ( 5 x + 20 ) = 0

Nun den Satz vom Nullprodukt anwenden:

Ein Produkt hat genau dann den Wert Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren den Wert Null hat.

Also:

<=> x = 0 oder 5 x + 20 = 0

<=> x = 0 oder 5 x = - 20

<=> x = 0 oder x = - 4

Bei den übrigen Aufgaben kannst du das genau so machen, wenn du zunächst durch Äquivalenzumformungen dafür sorgst, dass auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens Null steht.

Also etwa bei 5):

0,56 x = 1,12 x

<=> 0,56 x - 1,12 x = 0

<=> x ( 0,56 - 1,12 ) = 0

<=> x = 0

Einzige Lösung, weil der Klammerinhalt nicht von x abhängt

Bei 7) kannst du x ⁵ ausklammern:

x ⁶ - x ⁵ = 0

<=> x ⁵ ( x - 1 ) = 0

<=> x ⁵ = 0 oder x - 1 = 0

<=> x = 0 oder x = 1 

Answer 2

Hi,

Meistens läuft es hier auf Ausklammern hinaus und damit auf die von Dir gezeigte Faktorisierung:

3.) 5x² + 20x = 0

5x(x+4) = 0

Das ist der Fall, wenn entweder 5x = 0, oder x+4 = 0 ist, also

x₁ = 0 und x₂ = -4

 

4.) 1,4x² = 70x

Dividiere durch x. Sei Dir dabei bewusst, dass x dann während dieses Vorgangs nicht 0 sein darf.

1,4x = 70   |:1,4

x₁ = 50

Nun untersuche, ob x = 0 generell nicht sein darf, oder ob das nur für den Divisionsvorgang gegolten hat. 1,4*0^2 = 70*0 --> 0 = 0

Also ist auch x₂ = 0 eine Lösung!

 

5.) 0,56x = 1,12x

Gleiches Spiel: Division durch x.

0,56 = 1,12

Das passt nicht. Überprüfen von x = 0. Ist möglich und damit eine Lösung! ;)

 

6.) x²/25 = 4   |*25

x^2 = 100        |Wurzel ziehen

x_1,2 = ±10

 

7.) x⁶ - x⁵ = 0

x^5(x-1) = 0

x_1-5 = 0

x₆ = 1

 

Alles klar?

Grüße

Comments

5x² + 20x = 0

Ich verstehe nicht wie ich da die -4 einsetze :(

Dort hätte ich es verstanden: 5x(x+4) = 0

Weil 5x (5 * 0) = 0 ist und x+4 für das x die -4 einsetzen auch 0 ist.

Wie hast Du das umgerechnet?

Und was ich allgemein auch nicht verstehe ist, wie ich rausfinde ob die 0

auch eine Nullstelle ist :(

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5x² + 20x = 0

Ich verstehe nicht wie ich da die -4 einsetze :(

Dort hätte ich es verstanden: 5x(x+4) = 0

Erste und letzte Zeile sind nichts anderes. Aber in der ersten Zeile:

5*(-4)^2 + 20*(-4) = 80-80 = 0

 

Einfach x = 0 einsetzen. Ist dann die Gleichung 0, so ist x = 0 eine Lösung ;).