Aloha :)
Anstatt den Abstand \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) zu minimieren, können wir auch das Quadrat des Abstandes minimieren, das spart uns das Wurzelziehen. Die Nebenbedingung \(z=\frac{1}{xy}\) können wir durch Multiplikation beider Seiten mit \(xy\) zu \(xyz=1\) bzw. \(xyz-1=0\) umformen. Wir suchen also das Minimum der folgneden Lagrange-Funktion:$$L(x,y,z,\lambda)=x^2+y^2+z^2+\lambda\cdot(xyz-1)$$Wie üblich müssen wir dazu alle partiellen Ableitungen gleich \(0\) setzen:
$$\left.\begin{array}{c}0&=&\frac{\partial L}{\partial x}&=&2x+\lambda yz\\0&=&\frac{\partial L}{\partial y}&=&2y+\lambda xz\\0&=&\frac{\partial L}{\partial z}&=&2z+\lambda xy\\0&=&\frac{\partial L}{\partial \lambda}&=&xyz-1\end{array}\;\right|\begin{array}{l}\phantom{\frac{\partial L}{\partial x}}\cdot x\\\phantom{\frac{\partial L}{\partial x}}\cdot y\\\phantom{\frac{\partial L}{\partial x}}\cdot z\\\phantom{\frac{\partial L}{\partial x}}+1\end{array}$$$$\begin{array}{lcc}\lambda xyz&=&-2x^2\\\lambda xyz&=&-2y^2\\\lambda xyz&=&-2z^2\\xyz&=&1\end{array}$$Wir dividieren die erste Gleichung durch die zweite sowie die zweite durch die dritte:
$$1=\frac{\lambda xyz}{\lambda xyz}=\frac{-2x^2}{-2y^2}\quad\rightarrow\quad\frac{x^2}{y^2}=1\quad\Rightarrow\quad x^2=y^2$$$$1=\frac{\lambda xyz}{\lambda xyz}=\frac{-2y^2}{-2z^2}\quad\rightarrow\quad\frac{y^2}{z^2}=1\quad\Rightarrow\quad y^2=z^2$$Damit haben wir folgende Bedingung an das Minimum:$$x^2=y^2=z^2\quad;\quad xyz=1$$Daraus können wir weiter folgern:$$1=1^2=(xyz)^2=x^2y^2z^2=x^2x^2x^2=x^6\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm 1$$$$1=1^2=(xyz)^2=x^2y^2z^2=y^2y^2y^2=y^6\quad\Leftrightarrow\quad y=\pm 1$$$$1=1^2=(xyz)^2=x^2y^2z^2=z^2z^2z^2=z^6\quad\Leftrightarrow\quad z=\pm 1$$Jetzt müssen wir noch eine Besonderheit beachten! Die ursprüngliche Nebenbedingung lautet \(z=\frac{1}{xy}\). Wir haben zwar theroretisch \(8\) Minima gefunden, von denen aber 4 ausscheiden, weil sie die ursprüngliche Bedingung \(z=\frac{1}{xy}\) verletzen:$$\left(+1|+1|+1\right)\quad\text{ok}$$$$\left(+1|+1|-1\right)\quad\text{scheidet aus}$$$$\left(+1|-1|+1\right)\quad\text{scheidet aus}$$$$\left(+1|-1|-1\right)\quad\text{ok}$$$$\left(-1|+1|+1\right)\quad\text{scheidet aus}$$$$\left(-1|+1|-1\right)\quad\text{ok}$$$$\left(-1|-1|+1\right)\quad\text{ok}$$$$\left(-1|-1|-1\right)\quad\text{scheidet aus}$$
