Lösungsmenge in komplexer Zahlenebene skizzieren

Question

Aufgabe:

Skizzieren Sie die Lösungsmenge der Gleichung \( \Im((i-1) \cdot z)=0, \quad z \in \mathbb{C} \)
in der komplexen Zahlenebene. Hier bezeichnet \( i \in \mathbb{C} \) die imaginäre Einheit. Begründen Sie Ihre Skizze!

Problem/Ansatz:

Wie muss ich hier denn vorgehen? Das zeichnen in der komplexen Zahlenebene ist mir ein vollkommenes Rätsel, wie betrachte ich hier den Imaginärteil der mir als dieses geschnörkelte I dargestellt wird?

Answer 1

Sei \(z = z_r + i\cdot z_i\) mit \(z_r,z_i\in \mathbb{R}\). Dann ist

\(\begin{aligned} (i - 1) \cdot z &= (i - 1) \cdot (z_r + i\cdot z_i)\\ &= -z_r - z_i + i\cdot(z_r - z_i)\text{.} \end{aligned}\)

Somit ist

\(\begin{aligned}&&\mathfrak{I}((i - 1) \cdot z) &=0\\&\iff&\mathfrak{I}(-z_r - z_i + i\cdot(z_r - z_i)) &=0\\&\iff&z_r - z_i &=0\\&\iff&z_r &=z_i\text{.}\end{aligned}\)

Comments

Was ist unten vom zweiten auf den dritten Schritt passiert?

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\(-z_r - z_i + i\cdot (z_r - z_i)\) ist eine komplexe Zahl.

\(\mathfrak{I}(-z_r - z_i + i\cdot (z_r - z_i))\) ist der Imaginärteil dieser Zahl.

Weil \(-z_r - z_i\) und \(z_r - z_i\) reelle Zahlen sind, ist \(z_r - z_i\) der Imaginärteil dieser Zahl.

Also habe ich in der Gleichung

        \(\mathfrak{I}(-z_r - z_i + i\cdot (z_r - z_i)) = 0\)

den Teil \(\mathfrak{I}(-z_r - z_i + i\cdot (z_r - z_i))\) durch \(z_r - z_i\) ersetzt.