Winkelberechnung und e-Funktion

Question

Aufgabe:

f(x)=2.4*x^2*e^(-0.5*x) beschreibt im Intervall [0;15] das Profil eines Deichquerschnitts. Die Deichsohle liegt im Querschnitt auf der x-Achse.
Zeigen Sie, dass das maximale Gefälle der Böschung auf der Wasserseite des Deiches nicht größer als 45° ist

Problem/Ansatz:

Wie mache ich das?

LG

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Ergänzende Fragen vom heutigen Duplikat:

A) Zeichnen Sie das Profil des Deichquerschnitts. Welche Seite des Deichs ist die dem Wasser zugewandte Seite? Begründen Sie.

B) Bestimmen Sie die Höhe des Deichs.

C) (Frage oben schon gestellt)

D) Es ist geplant, die Deichkrone auf einer Höhe von 4,50m abzutragen, um darauf einen Radweg anzulegen. Wie breit wird dieser Radweg ?

E) Wie viel Kubikmeter Erde müssen dazu auf einer Länge von einem Kilometer abgetragen werden?

Problem/Ansatz:

Ich komme bei dieser Aufgabe überhaupt nicht weiter. Wie komme ich zu der Zeichnung und wie berechne ich die gesuchten Werte ?

Gefragt vor 2 Stunden von Buenosdias1312

Answer 1

Lautet die Funktion nicht eher:

f(x) = 2.4·x^2·e^(- 0.5·x)

Wie kannst du erwarten das wir ordentlich helfen, wenn nicht mal die Frage richtig ist?

f''(x) = 0.6·e^(- 0.5·x)·(x^2 - 8·x + 8) = 0 → x = 4 - 2·√2 ∨ x = 2·√2 + 4

x = 1.172 ∨ x = 6.828

f'(4 - 2·√2) = 2.214 --> 65.69°

f'(2·√2 + 4) = -0.7625578710 --> -37.33°

Wasserseite muss also auf der rechten Seite sein.

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entschuldige dass ich mich vertippt habe...

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Danke für deine Hilfe! Eine Frage noch, unsere Lehrerin meinte etwas von alpha tangens oder so. Aber dein Lösungsweg scheint auch ohne zu funktionieren?

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Nein. Auch meine Lösung funktioniert nicht ohne

Es gilt: Tangens vom Steigungswinkel ist die Steigung

TAN(α) = m oder

α = TAN^{-1}(m)

Damit kannst du also den Steigungswinkel α ausrechnen, wenn du die Steigung m hast.

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Und könntest du mir vielleicht erklären, was du hier

x = 4 - 2·√2 ∨ x = 2·√2 + 4

gerechnet hast? 4 ist der Hochpunkt richtig und dann ?

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Ich habe die quadratische Gleichung

x^2 - 8·x + 8 = 0

gelöst. Probier das einfach mal nachzurechnen.

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Ich habe die quadratische Gleichung

x2 - 8·x + 8 = 0

gelöst

und warum genau?

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Maximale Steigung und gefälle hat man an den Wendepunkten und da ist die Bedingung, dass die 2. Ableitung Null werden muss.

Answer 2

Zu den heutigen Ergänzungsfragen:

A) Plotte f(x) für das Intervall von x = 0 bis x = 15

B) Finde das Maximum von f(x) im Intervall von x = 0 bis x = 15, leite zu diesem Zweck die Funktion ab.

C) (Frage oben schon gestellt)

D) Löse die Gleichung f(x) = 4,5 und die beiden Lösungen im Intervall von x = 0 bis x = 15 sind die Seiten des Weges. Die Differenz ist die Breite.

E) Der Flächeninhalt des Querschnitts der abgetragenen Erde ist gleich \( \int\limits_{a}^{b} (f(x) - 4,5) \; dx\) wobei a und b die Lösungen von D) sind, und das Volumen ist gleich Querschnittsflächeninhalt mal 1000 Meter.

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Ich habe das Deichprofil nun zeichnen können und Aufgabe A gemacht. Jedoch brauche ich nun für B) die erste Ableitung der Funktion. Eigentlich wollte ich das mit der Poduktregel machen, aber das funktioniert nicht. Wie würdest du die Ableitung bilden ?

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Warum funktioniert das nicht? Zeig mal Dein Ergebnis bzw. Rechnung dazu. Zur Selbstkontrolle gibt es auch https://www.ableitungsrechner.net/

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\(\displaystyle f(x)=\underbrace{2,4 x^2}_{u} \cdot \underbrace{\vphantom{,}e^{-0,5x}}_{v} \)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\; f(x)=\underbrace{4,8 x}_{u^\prime} \cdot \underbrace{\vphantom{,}e^{-0,5x}}_{v\vphantom{^\prime}} +\underbrace{2,4 x^2}_{u\vphantom{^\prime}} \cdot \underbrace{(-0,5)e^{-0,5x}}_{v^\prime}\\\\ \qquad \qquad = 4,8 xe^{-0,5x}  -1,2 x^2e^{-0,5x} \)