Verhalten der Folge untersuchen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie das Verhalten der folgende Folge

\( c_{n}=\left(2^{n}-n^{2}\right) / n ! \)

Problem/Ansatz:

Hab mehrmals probiert zu loesen aber bekomme die unbestimmte Form,

bitte um Hilfe

Answer 1

cn = (2^n - n^2)/n!

Hier mal die ersten 10 Folgeglieder

[1, 1;
2, 0;
3, -0.1666666666;
4, 0;
5, 0.05833333333;
6, 0.03888888888;
7, 0.01567460317;
8, 0.004761904761;
9, 0.001187720458;
10, 0.0002546296296]

Ich vermute die Folge ist ab n = 5 streng monotan fallend. Könntest du das nachweisen oder widerlegen?

Könntest du weiterhin nachweisen oder widerlegen das der Grenzwert 0 ist?

Answer 2

Du kannst c_n zb so nachoben abschätzen: \(c_n=\frac{2^n-n^2}{n!}\leq \frac{2^n-n^2}{3^n}\leq \frac{2^n}{3^n}=\Big(\frac{2}{3}\Big)^n\stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 0\).

Als untere Abschätzung:

\(c_n\geq \frac{-n^2}{n!} \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 \).

Answer 3

Aloha :)$$c_n=\frac{2^n-n^2}{n!}=\frac{2^n}{n!}-\frac{n^2}{n!}=\frac{2\cdot2\cdot2\cdots2}{1\cdot2\cdot3\cdots n}-\frac{n}{1\cdot2\cdot3\cdots(n-1)}$$$$\phantom{c_n}=\frac{2\cdot2\cdot2\cdots2}{1\cdot2\cdot3\cdots n}-\frac{(n-1)+1}{1\cdot2\cdot3\cdots(n-1)}$$$$\phantom{c_n}=\frac{2\cdot2\cdot2\cdots2}{1\cdot2\cdot3\cdots n}-\frac{n-1}{1\cdot2\cdot3\cdots(n-1)}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdots(n-1)}$$$$\phantom{c_n}=\frac{2\cdot2\cdot2\cdots2}{1\cdot2\cdot3\cdots n}-\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdots(n-2)}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdots(n-1)}$$$$\phantom{c_n}\to0-0+0=0$$