Quadratisches Modell

Question

Hallo,

kann mir bitte jemand mit diesem Beispiel helfen.

Der Jahresumsatz U einer Firma beträgt im 2. Jahr ihres Bestehens 1,5 Millionen €, im 4. Jahr 5 Millionen €.

 1) Beschreibe die Entwicklung des Jahresumsatzes U der Firma durch ein quadratisches Modell. Nimm dabei an, dass U(0) = 0.

2) Stelle die Funktion für die ersten 10 Firmenjahre grafisch dar und überlege, in welchem Bereich das quadratische Modell brauchbare Ergebnisse liefert.

 3) Wie groß ist laut quadratischem Modell der Umsatz im 3. Jahr?

 4) Berechne, in welchem Jahr laut quadratischem Modell ein Jahresumsatz von 8 Mio. € erreicht wird.

Vielen Dank

Answer 1

Beschreibe die Entwicklung des Jahresumsatzes U der Firma durch ein quadratisches Modell.

U(t) = at² + bt + c.

Du musst a, b und c bestimmen. Löse dazu das Gleichungssystem

        U(0) = 0
        U(2) = 1,5
        U(4) = 5.

Stelle die Funktion für die ersten 10 Firmenjahre grafisch dar

Bestimme U(10). Zeichne eine Kurve durch die Punkte (0 | 0), (2 | 1,5), (4 | 5) und (10 | U(10) ).

überlege, in welchem Bereich das quadratische Modell brauchbare Ergebnisse liefert.

Das Modell liefert für t < 0 keine baruachbaren Ergebnisse.

Für große t wird es vorkommen, dass sich der umsatz innerhalb eines Jahres ver-x-facht. Das ist für große x nicht möglich. Wie große dabei "groß" genau ist, ist eine wirtschaftswissenschaftliche Frage, keine mathematische.

Wie groß ist laut quadratischem Modell der Umsatz im 3. Jahr?

U(3).

Berechne, in welchem Jahr laut quadratischem Modell ein Jahresumsatz von 8 Mio. € erreicht wird.

Löse die Gleichung U(t) = 8.

Comments

Hallo, vielen Dank, aber ich verstehe nicht wie man die Nr. 4 löst. Was heißt U(t)=0 ?

Nochmal Danke

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Was heißt U(t)=0 ?

Das heißt

        at² + bt + c = 0,

weil, wie ich bereits oben geschrieben habe,

        U(t) = at² + bt + c

ist.

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Hallo, vielen Dank, aber ich verstehe nicht wie man die Nr. 4 löst. Was heißt U(t)=0 ?

Nochmal Danke

Ja, das verstehe ich, aber wie rechne ich den Jahresumsatz aus ?

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aber wie rechne ich den Jahresumsatz aus ?

Setze das Jahr für t ein.

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Tut mir leid, aber ich verstehe es wirklich nicht, was soll ich einsetzen ?

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Hast du a, b und c schon bestimmt? Bei welcher Teilaufgabe bist du gerade?

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Ja die habe ich schon bestimmt, also mir ist U(t)=1/4t2+1/4t rausgekommen. Ich bin gerade bei der letzten Nummmer,4.

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Aber ich weiß jetzt nicht wie weiter

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Das muss natürlich

        U(t) = 8

heißen, und damit

        1/4t²+1/4t = 8.

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     Ok, vielen dank

Answer 2

ZU 1. (2|1,5) und (4|5) einsetzen in U(t)=at²+bt.

Ergibt das System (1) 1,5=4a+2b

                               (2) 5=16a+4b

mit den Lösungen a=1/4 und b=1/4.

U(t)=1/4·t²+1/4·t.