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Aufgabe:

Lösen Sie das folgende Integral durch Partialbruchzerlegung des Integranden:

\( \int\limits_{}^{} \)\(\frac{3z}{z³+3z² -4} \)dz


Problem/Ansatz:

Ich habe bereits die Partialbruchzerlegung durchgeführt.
Dort Bekomme ich 3z =A*(z+2)²+B*(z-1)*(z+2)+C*(z-1) raus.

Nun soll A =\( \frac{1}{3} \), B = -\( \frac{1}{3} \), C =2 sein.

Also A=-B

A und C habe ich Korrekt ausrechnen können, allerdings bereitet mir B Probleme.

Egal wie ich es Umforme A und B sind bei mir verschieden(nicht nur ein anderes Vorzeichen) und noch viel schlimmer:
Bei B kommt immer raus das B keinen Wert liefert, bzw. B wird immer mit 0 multipliziert.
Laut Lösung und Wolfram sollte A=-B = \( \frac{1}{3} \) richtig sein. Ich verstehe leider nicht wie man darauf kommt und hoffe das es mir hier jemand erklären kann.
Vielen Danke für Eure Hilfe!

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2 Antworten

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Hallo,

mittels Einsetzmethode:

\( \int \dfrac{3 z}{z^{3}+3 z^{2}-4} d z=\int \dfrac{3 z}{(z-1)(z+2)^{2}} d z \)

\( \dfrac{3 z}{(z-1)(z+2)^{2}}=\dfrac{A}{z-1}+\dfrac{B}{z+2}+\dfrac{C}{(z+2)^{2}} \quad | H N \)
\( \quad 3 z=A(z+2)^{2}+B(z-1)(z+2)+C(z-1) \)
\( z_{1}=1 ; \quad 3=9 A \Rightarrow {A}=\frac{1}{3} \)
\( z_{2}=-2:-6=C(-3) \Rightarrow C=2 \)
\( \begin{aligned} {z_{3}=0}{(z .B)}  &  0=4 A-2B-C \\ 0 &=\frac{4}{3}-2 B-2 \end{aligned} \)
\( 0=-\frac{2}{3}-2B \Rightarrow B=-\frac{1}{3} \)

Avatar von 121 k 🚀

Also kann ich für z1,z2,z3 einsetzen was ich möchte? Ich dachte das ich die Nullstellen einsetzen muss. Anscheinend hat mich das durcheinander gebracht.

Du setzt die Polstellen ein 1 und -2 .Da Du ja keinen 3.Wert

hast , kannst Du generell JEDEN Wert einsetzen , z.B 0.

Ahhhh und ich dachte ich müsste -2 zweimal einsetzten, da ich diese ja als doppelte Nullstelle habe. Vielen Dank!

gern doch :)

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Hallo,

ich gehe mal davon aus, dass das \(\int_{}^{}\frac{3z}{z^2+3z -4} \, dz\) heißen soll. Mit dem Satz von Vieta folgt leicht, dass \(z^2+3z-4=(z-1)(z+4)\), bedeutet, dass:$$\int_{}^{}\frac{3z}{z^2+3z -4} \, dz=3\int_{}^{}\frac{z}{(z-1)(z+4)} \,dz$$ Als Ansatz hast du folglich:$$\frac{z}{(z-1)(z+4)}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z+4} \Longleftrightarrow z=A(z+4)+B(z-1)$$ Setze nun \(z=1\) und einmal \(z=-4\), so erhältst du, dass \(A=\frac{1}{5}\) und \(B=\frac{4}{5}\) und damit:$$\int_{}^{}\frac{3z}{z^2+3z -4} \, dz=3\int_{}^{}\frac{z}{(z-1)(z+4)} \,dz=3\int_{}^{}\frac{1}{5(z-1)}+\frac{4}{5(z+4)} \, dz=\frac{12\ln |z+4| + 3\ln|z-1|}{5}+C$$

Avatar von 28 k

Nein so wie ich es oben stehen habe ist es schon richtig.. Tut mir leid das du dir jetzt so viel mühe gegeben hast das andere auszurechnen.

Hallo,

das mag sein, prüfe meine Antwort allerdings noch einmal genauer. Du wirst sehen, dass ich den Faktor 3 vor das Integral gezogen habe. Die Lösung ist auch richtig, vgl. WolframAlpha.

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