Partialbruchzerlegung A=-B?

Question

Aufgabe:

Lösen Sie das folgende Integral durch Partialbruchzerlegung des Integranden:

\( \int\limits_{}^{} \)\(\frac{3z}{z³+3z² -4} \)dz

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits die Partialbruchzerlegung durchgeführt.
Dort Bekomme ich 3z =A*(z+2)²+B*(z-1)*(z+2)+C*(z-1) raus.

Nun soll A =\( \frac{1}{3} \), B = -\( \frac{1}{3} \), C =2 sein.

Also A=-B

A und C habe ich Korrekt ausrechnen können, allerdings bereitet mir B Probleme.

Egal wie ich es Umforme A und B sind bei mir verschieden(nicht nur ein anderes Vorzeichen) und noch viel schlimmer:
Bei B kommt immer raus das B keinen Wert liefert, bzw. B wird immer mit 0 multipliziert.
Laut Lösung und Wolfram sollte A=-B = \( \frac{1}{3} \) richtig sein. Ich verstehe leider nicht wie man darauf kommt und hoffe das es mir hier jemand erklären kann.
Vielen Danke für Eure Hilfe!

Answer 1

Hallo,

mittels Einsetzmethode:

\( \int \dfrac{3 z}{z^{3}+3 z^{2}-4} d z=\int \dfrac{3 z}{(z-1)(z+2)^{2}} d z \)

\( \dfrac{3 z}{(z-1)(z+2)^{2}}=\dfrac{A}{z-1}+\dfrac{B}{z+2}+\dfrac{C}{(z+2)^{2}} \quad | H N \)
\( \quad 3 z=A(z+2)^{2}+B(z-1)(z+2)+C(z-1) \)
\( z_{1}=1 ; \quad 3=9 A \Rightarrow {A}=\frac{1}{3} \)
\( z_{2}=-2:-6=C(-3) \Rightarrow C=2 \)
\( \begin{aligned} {z_{3}=0}{(z .B)}  &  0=4 A-2B-C \\ 0 &=\frac{4}{3}-2 B-2 \end{aligned} \)
\( 0=-\frac{2}{3}-2B \Rightarrow B=-\frac{1}{3} \)

Comments

Also kann ich für z1,z2,z3 einsetzen was ich möchte? Ich dachte das ich die Nullstellen einsetzen muss. Anscheinend hat mich das durcheinander gebracht.

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Du setzt die Polstellen ein 1 und -2 .Da Du ja keinen 3.Wert

hast , kannst Du generell JEDEN Wert einsetzen , z.B 0.

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Ahhhh und ich dachte ich müsste -2 zweimal einsetzten, da ich diese ja als doppelte Nullstelle habe. Vielen Dank!

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gern doch :)

Answer 2

Hallo,

ich gehe mal davon aus, dass das \(\int_{}^{}\frac{3z}{z^2+3z -4} \, dz\) heißen soll. Mit dem Satz von Vieta folgt leicht, dass \(z^2+3z-4=(z-1)(z+4)\), bedeutet, dass:$$\int_{}^{}\frac{3z}{z^2+3z -4} \, dz=3\int_{}^{}\frac{z}{(z-1)(z+4)} \,dz$$ Als Ansatz hast du folglich:$$\frac{z}{(z-1)(z+4)}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z+4} \Longleftrightarrow z=A(z+4)+B(z-1)$$ Setze nun \(z=1\) und einmal \(z=-4\), so erhältst du, dass \(A=\frac{1}{5}\) und \(B=\frac{4}{5}\) und damit:$$\int_{}^{}\frac{3z}{z^2+3z -4} \, dz=3\int_{}^{}\frac{z}{(z-1)(z+4)} \,dz=3\int_{}^{}\frac{1}{5(z-1)}+\frac{4}{5(z+4)} \, dz=\frac{12\ln |z+4| + 3\ln|z-1|}{5}+C$$

Comments

Nein so wie ich es oben stehen habe ist es schon richtig.. Tut mir leid das du dir jetzt so viel mühe gegeben hast das andere auszurechnen.

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Hallo,

das mag sein, prüfe meine Antwort allerdings noch einmal genauer. Du wirst sehen, dass ich den Faktor 3 vor das Integral gezogen habe. Die Lösung ist auch richtig, vgl. WolframAlpha.