Ich brauche Hilfe bei einer Differenzialgleichung

Question

Aufgabe:

Bestimme den Typ der Differenzialgleichung.

Löse die Differenzialgleichung

Löse das Anfangswertproblem (AWP)

x'(t)=(x(t))/(t-1)+(t-1)*e^(2t), AWP: x(2)=0

Problem/Ansatz:

Ich komme einfach nicht auf das Ergebnis

Comments

Alternativ substituiere \(x(t)=(t-1)z(t)\) und erhalte \(0=(t-1)(z^\prime(t)-\mathrm e^{2t})\), also \(z^\prime(t)=\mathrm e^{2t}\).

Answer 1

Dann fang mal an, den homogenen Teil

x'(t)=(x(t))/(t-1)

mit Trennung der Variablen zu lösen. Dann sehen wir weiter.

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Lösungsvorschlag Homogener Teil:

x'(t)=(x(t))/(t-1)

\( \frac{dx}{dt} \) = \( \frac{x}{t-1} \)  Ι ·dt Ι÷x

\( \frac{dx}{x} \) = (t-1)·dt

\( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( \frac{dx}{x} \) = \( \int\limits_{0}^{\infty} \) (t-1)·dt

(Integralgrenze soll eigentlich frei bleiben)^^

= ln(x)= \( \frac{1}{2} \)t² -t+c  Ι e-funktion

x= e^{(t/2)^2 -t+c}

Zusammengefasst

x= c·e^{1/2t^2 -t}

^{Ist der Ansatz richtig??}

^{Vielen Dank!}

Answer 2

Hallo,,

Lösung durch Variation der Konstanten:

Comments

! Aber wie kommt man auf(Integral)g(x)= -1/(t-1)??Danke für den schnellen Lösungsansatz!!!Ich kenne es nur mit Berechnung durch Trennung von Homogenen und Inhomogenen Teil

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das ist der Term der vor x(t) steht , das wird für die Lösungsformel benötigt.