Aloha :)
$$\left.x'+\frac{x}{t}=0\quad\right|\;:x\quad\text{ für } x\ne0$$$$\left.\frac{x'}{x}+\frac{1}{t}=0\quad\right|\;-\frac{1}{t}$$$$\left.\frac{x'}{x}=-\frac{1}{t}\quad\right|\;\int\cdots$$$$\left.\ln|x|=-\ln|t|+c=\ln\frac{1}{|t|}+c_1\quad\right|\;e^\cdots\;\;;\;\;c_1=\text{const}$$$$\left.e^{\ln|x|}=e^{\ln\frac{1}{|t|}+c_1}=e^{\ln\frac{1}{|t|}}\cdot e^{c_1}\quad\right|\;\text{vereinfachen}$$$$\left.|x|=\frac{1}{|t|}\cdot c\quad\right|\;c:=e^{c_1}=\text{const}$$$$x=\frac{c}{t}\quad\;;\quad c=\text{const}$$Beachte, dass insbesondere \(x(t)=0\) eine Lösung der homogenen DGL ist.
Da noch die Nachfrage nach der allgemeinen Lösung kam, habe ich meine Antwort ab hier ergänzt...
Zur Lösung der allgemeinen DGL$$x'+\frac{x}{t}=t^2$$nutzen wir die Lösung der homogenen DGL und variieren die darin enthaltene Konstante \(c\) mit der Zeit. Das heißt, wir betrachten nun \(c=c(t)\) als zeitabhängige Funktion. Dann finden wir für die Ableitung der homogenen Lösung nach der Quotientenregel:$$x'(t)=\left(\frac{c(t)}{t}\right)'=\frac{c'(t)\cdot t-c(t)\cdot1}{t^2}=\frac{c'(t)}{t}-\frac{c(t)}{t^2}$$Diese Ableitung setzen wir in die DGL ein:
$$t^2=x'+\frac{x}{t}=\underbrace{\frac{c'(t)}{t}-\frac{c(t)}{t^2}}_{=x'(t)}+\frac{1}{t}\cdot\underbrace{\frac{c}{t}}_{=x(t)}=\frac{c'(t)}{t}$$$$\Rightarrow\quad c'(t)=t^3\quad\Rightarrow\quad c(t)=\frac{t^4}{4}+c_0$$Wir übernehmen dies in die Lösung und finden:$$x(t)=\frac{c}{t}=\frac{\frac{t^4}{4}+c_0}{t}=\frac{t^3}{4}+\frac{c_0}{t}$$Die Konstante \(c_0\) wird durch die Anfangsbedingungen festgelegt.
Probe:$$x'+\frac{x}{t}=\frac{3}{4}t^2-\frac{c_0}{t^2}+\frac{t^2}{4}+\frac{c_0}{t^2}=t^2\quad\checkmark$$
