Beweis: Kardinalszahl > 2 einer Geraden impliziert Kardinalszahl = ∞ (Unendlich)

Question

Aufgabe:

Zur Erleichterung bezeichne ich die Kardinalszahl einer Geraden einfach als "x"

zuzeigen ist das x > 2 impliziert, dass x = ∞

Problem/Ansatz:

die Kardinalität einer Menge bezeichnet ja generell die Anzahl der Elemente in dieser Menge

Eine Gerade ist daher (wenn ich das soweit richtig verstanden habe) eine Menge von Punkten, das bedeutet dass eine Kardinalität x > 2 bedeuten würde, dass eine Gerade durch mehr als 2 Punkte geht. Ich kann auch irgendwie nachvollziehen warum x > 2 impliziert dass x = ∞ , weil zwischen zwei Punkten liegen ja in der Theorie unendlich viele punkte "dicht beieinander", dass ist aber glaub ich als Beweis unzureichend bzw. viel zu pragmatisch.

Hat jemand eine Idee wie ich diese Aufgabe: "Mathematischer" Lösen könnte?

mfg & danke im voraus.

Answer 1

Anders ausgedrückt: Satz: Eine Strecke, auf der zwei verschiedene Punkte A und B liegen hat unendlich viele Punkte.

Beweis: Der Mittelpunkt B₁ der Strecke ist Punkt der Strecke AB. Der Mittelpunkt B₂ der Strecke AB₁ ist Punkt der Strecke AB₁ und damit auch der Strecke AB. Und so weiter, allgemein: Der Mittelpunkt der B_n Strecke AB_n-1 ist Punkt der Strecke AB. Diese Rekursion läuft ohne Ende weiter. AB enthält eine unendliche Anzahl von Punkten.