Geometrische Bedeutung von Matrizen

Question

Aufgabe:

Gib an, welche geometrischen Abbildungen die folgenden Matrizen erzeugen:

0  0  0

2  1  0

-2  0  1

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung wie ich mir das vorstellen muss. Bisher habe ich mir immer angeschaut, was mit den Einheitsvektoren passiert. Das könnte ich auch nachvollziehen. Aber bei dieser Aufgabe überfordert es mich, dass beim x Einheitsvektor an der y und z Kolrodinate etwas geändert wurde...

Answer 1

Aloha :)$$A=\left(\begin{array}{c}0 & 0 & 0\\2 & 1 & 0\\-2 & 0 & 1\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad A^2=\left(\begin{array}{c}0 & 0 & 0\\2 & 1 & 0\\-2 & 0 & 1\end{array}\right)=A\quad\Rightarrow\quad A^n=A\;;\;n\in\mathbb{N}$$Die gegebene Matrix ist also idempotent und daher eine Projektion. Nach erstmaliger Anwendung der Matrix \(A\) auf einen Vektor bleibt dessen Bild bei allen weiteren Anwendungen von \(A\) unverändert.

Comments

Hm, ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich das richtig verstanden habe und ob das bei der Frage gefragt war. Bisher waren die Antworten immer sowas wie: die Abbildungsmatrix streckt eine Abblidung mit Faktor... oder die Abbildung spiegelt auf die xy Ebene...

kann man irgendwas in der Richtung auch auf die obige Ablidungsmatrix beziehen?

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Wenn du dir überlegst, wie die 3 Standard-Basisvektoren transformiert werden$$\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{c}0\\2\\-2\end{array}\right)\;;\;\;\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\;;\;\;\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)$$stellst du fest, dass die Matrix einen Vektor auf die \(yz\)-Ebene projeziert. Sie lässt die \(y\)- und die \(z\)-Komponente des Vektors ungeändert. Die \(x\)-Komponente wird hingegen verdoppelt und nicht auf der \(x\)-Achse, sondern in Richtung der \(y\)-Achse und in entgegengesetzter Richtung zur \(z\)-Achse abgetragen.

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Danke, das hat mein Verständnis auf jeden Fall ein bisschen voran gebracht :)

Answer 2

(hatte ein VZ falsch abgeschrieben)

Eigenwert 1 zu Eigenvektoren\( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \)

Eigenwert 0 zu Eigenvektor\( \begin{pmatrix} 1\\-2\\2 \end{pmatrix} \)

Die x2 und x3-Achsen sind Fixpunktgeraden, also ist die x2-x3-Ebene Fixpunktebene.

k*(3.EV) ist im Kern der Abb.