Parallelität Gerade Ebene

Question

Aufgabe:

welche gegenseitige Lage besitzen g und E?

g:x= (1/2/2) + r(2/-1/1)

E:x= (1/0/3)+s(0/-2/1) +t(-2/1/-1)

Problem/Ansatz:

also mir ist klar, dass ich das ganze natürlich gleichsetzen könnte, doch sieht man hier ja, dass der Richtungsvektor von g als Vielfaches eines Richtungsvektors der Ebene dargestellt werden kann. Nun frage ich mich, ob dies schon ausreicht, um auf Parallelität zu schließen, um dann später noch die Punktprobe machen zu können, um festzustellen, ob g vielleicht in E liegt?

(sorry für die Schreibweise!)

Danke für die Hilfe! :-)

Answer 1

Gut erkannt und alles richtig. Ja, wenn der RV von g kollinear ist zu einem der RV bei E, dann ist automatisch die Gerade parallel zur Ebene. Noch etwas allgemeiner: Genau dann, wenn die insgesamt drei Richtungsvektoren in den Gleichungen linear abhängig sind, ist die Gerade parallel zur Ebene.

Comments

Vielen Dank!

Aber wenn alle drei linear abhängig sind, dann hätte man ja die Bedingung für Komplanar erfüllt oder? Das hätte dann ja zur Folge, dass die Gerade in der Ebene liegen muss?

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Ja, lineare Abhängigkeit bei drei Vektoren wird auch als Komplanarität bezeichnet. Aber das bedeutet im Allgemeinen nur, dass die Gerade parallel zur Ebene verläuft. In diesem Beispiel ist die Punktprobe positiv, also liegt die Gerade sogar in der Ebene. Wenn man den Ortsvektor bei g durch einen anderen ersetzt, sind die Richtungsvektoren immer noch komplanar, aber im Normalfall (negative Punktprobe) ist dann die Gerade "echt parallel" zu E, d.h. es gibt keine gemeinsamen Punkte.

Answer 2

Deine Überlegung ist völlig korrekt, das Gleichsetzen

wäre echt überflüssig.

Answer 3

Der Richtungsvektor der Geraden ist linear abhängig zum 2. Richtungsvektor der Ebene. Daher ist die Gerade in der Ebene oder parallel

[1, 0, 3] + s·[0, -2, 1] + t·[-2, 1, -1] = [1, 2, 2] --> s = -1 ∧ t = 0

Damit liegt die Gerade in der Ebene.