Exponentialfunktionen interpretieren

Question

Ein Professor der Mathematik veröffentlicht folgende Funktion, welche den Verlauf der Anzahl der neu Erkrankten wiedergeben soll.

g(x) = (x⁴  /125) / e^0,02936x

g(x) : sei die Anzahl der Neuerkrankten

x seien die Tage

Aufgabestellung:

Interpretieren Sie diese Funktion aus der Sicht des Virologen.

Nach wie vielen Tagen sinkt die Anzahl der neu Erkrankten erstmals?

Ansatz:

Allerdings sinkt die die Anzahl nicht sondern steigt ja monoton ab x = 0?

Answer 1

g(x) = x^4/125/EXP(0.02936·x) = 0.008·x^4·e^(- 0.02936·x)

g'(x) = e^(- 0.02936·x)·(0.032·x^3 - 0.00023488·x^4) = 0 --> x = 136.2 (∨ x = 0)

Das Maximum der Neuinfizierten hat man nach ca. 136 Tagen. Danach sinkt die Anzahl der Neuinfizierten wieder ab.

Comments

die funktion hat aber kein Maximum?

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Wie kommst du darauf?

~plot~ x^4/125/exp(0.02936·x);[[0|300|0|60000]] ~plot~

Answer 2

Aloha :)

Die Anzahl der Erkranungen steigt, solange die Funktion \(g(x)\) wächst, ihre erste Ableitung also \(>0\) ist. Die Anzahl der Erkrankungen sinkt, wenn die Funktion \(g(x)\) sinkt bzw. ihre Ableitung \(<0\) ist. Der gesuchte Zeitpunkt ist also derjenige, bei dem die erste Ableitung \(=0\) wird, also beim Maximum der Funktion \(g(x)\).$$0\stackrel{!}{=}g'(x)=\frac{4x^3}{125}e^{-0,02936x}+\frac{x^4}{125}\cdot(-0,02936)e^{-0,02936x}$$$$\phantom{0}=\frac{x^3}{125}e^{-0,02936x}\left(4-0,02936x\right)$$Die triviale Lösung \(x=0\) ist uninteressant, die \(e\)-Funktion ist immer \(>0\). Also kann nur die Klammer \(=0\) werden:$$x=\frac{4}{0,02936}=136,24\,\text{Tage}$$

~plot~ (x^4/125)*e^(-0,02936x) ; [[0|500|0|52000]] ~plot~