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Ein Professor der Mathematik veröffentlicht folgende Funktion, welche den Verlauf der Anzahl der neu Erkrankten wiedergeben soll.

g(x) = (x /125) / e0,02936x

g(x) : sei die Anzahl der Neuerkrankten

x seien die Tage

Aufgabestellung:

Interpretieren Sie diese Funktion aus der Sicht des Virologen.

Nach wie vielen Tagen sinkt die Anzahl der neu Erkrankten erstmals?

Ansatz:

Allerdings sinkt die die Anzahl nicht sondern steigt ja monoton ab x = 0?

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g(x) = x4/125/EXP(0.02936·x) = 0.008·x4·e^(- 0.02936·x)

g'(x) = e^(- 0.02936·x)·(0.032·x3 - 0.00023488·x4) = 0 --> x = 136.2 (∨ x = 0)

Das Maximum der Neuinfizierten hat man nach ca. 136 Tagen. Danach sinkt die Anzahl der Neuinfizierten wieder ab.

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die funktion hat aber kein Maximum?

Wie kommst du darauf?

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f1(x) = x4/125/exp(0,02936·x)Zoom: x(0…300) y(0…60000)


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Aloha :)

Die Anzahl der Erkranungen steigt, solange die Funktion g(x)g(x) wächst, ihre erste Ableitung also >0>0 ist. Die Anzahl der Erkrankungen sinkt, wenn die Funktion g(x)g(x) sinkt bzw. ihre Ableitung <0<0 ist. Der gesuchte Zeitpunkt ist also derjenige, bei dem die erste Ableitung =0=0 wird, also beim Maximum der Funktion g(x)g(x).0=!g(x)=4x3125e0,02936x+x4125(0,02936)e0,02936x0\stackrel{!}{=}g'(x)=\frac{4x^3}{125}e^{-0,02936x}+\frac{x^4}{125}\cdot(-0,02936)e^{-0,02936x}0=x3125e0,02936x(40,02936x)\phantom{0}=\frac{x^3}{125}e^{-0,02936x}\left(4-0,02936x\right)Die triviale Lösung x=0x=0 ist uninteressant, die ee-Funktion ist immer >0>0. Also kann nur die Klammer =0=0 werden:x=40,02936=136,24Tagex=\frac{4}{0,02936}=136,24\,\text{Tage}

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f1(x) = (x4/125)·e^(-0,02936x)Zoom: x(0…500) y(0…52000)


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