Exponentialfunktionen interpretieren

Question

Ein Professor der Mathematik veröffentlicht folgende Funktion, welche den Verlauf der Anzahl der neu Erkrankten wiedergeben soll.

g(x) = (x⁴  /125) / e^0,02936x

g(x) : sei die Anzahl der Neuerkrankten

x seien die Tage

Aufgabestellung:

Interpretieren Sie diese Funktion aus der Sicht des Virologen.

Nach wie vielen Tagen sinkt die Anzahl der neu Erkrankten erstmals?

Ansatz:

Allerdings sinkt die die Anzahl nicht sondern steigt ja monoton ab x = 0?

Answer 1

g(x) = x⁴/125/EXP(0.02936·x) = 0.008·x⁴·e^(- 0.02936·x)

g'(x) = e^(- 0.02936·x)·(0.032·x³ - 0.00023488·x⁴) = 0 --> x = 136.2 (∨ x = 0)

Das Maximum der Neuinfizierten hat man nach ca. 136 Tagen. Danach sinkt die Anzahl der Neuinfizierten wieder ab.

Comments

die funktion hat aber kein Maximum?

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Wie kommst du darauf?

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f₁(x) = x⁴/125/exp(0,02936·x)Zoom: x(0…300) y(0…60000)

Answer 2

Aloha :)

Die Anzahl der Erkranungen steigt, solange die Funktion $g(x)$ wächst, ihre erste Ableitung also $>0$ ist. Die Anzahl der Erkrankungen sinkt, wenn die Funktion $g(x)$ sinkt bzw. ihre Ableitung $<0$ ist. Der gesuchte Zeitpunkt ist also derjenige, bei dem die erste Ableitung $=0$ wird, also beim Maximum der Funktion $g(x)$.$$0\stackrel{!}{=}g'(x)=\frac{4x^3}{125}e^{-0,02936x}+\frac{x^4}{125}\cdot(-0,02936)e^{-0,02936x}$$$$\phantom{0}=\frac{x^3}{125}e^{-0,02936x}\left(4-0,02936x\right)$$Die triviale Lösung $x=0$ ist uninteressant, die $e$-Funktion ist immer $>0$. Also kann nur die Klammer $=0$ werden:$$x=\frac{4}{0,02936}=136,24\,\text{Tage}$$

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f₁(x) = (x⁴/125)·e^(-0,02936x)Zoom: x(0…500) y(0…52000)