Gleichung der Parabel mittels Leitlinie berechnen

Question

Die Aufgabe lautet:

Von einer Parabel

par: y² = 2px

ist die Gleichung der Leitlinie

l: x = -2      bekannt.

Gib die Gleichung der Parabel an.

Ansatz:

par: \( y^{2}=2 p x \)

 gegeben: \( l: x=-2 \quad \rightarrow \)

allgem: \( l: x=-e \)
\( e=2 \quad e=\frac{p}{2} \)

\( 2=\frac{p}{2}            \)
\( 4=p \)
\( y^{2}=2 p x=>y^{2}=2 \cdot 4 x \)
\( y^{2}=8 x \)

 par: y² = 8x

So habe ich gerechnet. Meine Frage: stimmt meine Rechnung? :)

Danke schon mal im Voraus

Lg :)

Answer 1

Hallo,

Deine Rechnung ist richtig. Wenn man weiß, dass der Ausdruck \(y^2 = 2px\) eine horizontal geöffnete Parabel ist, wobei \(p\) der Abstand zwischen Leitlinie und Brennpunkt ist. Da der Scheitel \(S\) gezwungener Maßen bei \((0,0)\) liegt, muss \(p\) also hier \(=4\) sein.

Es kommt immer darauf an, was als Vorbedingung benutzt werden kann/darf.

Zur  Kontrolle kann man einen Punkt auf der Parabel wählen. Idealerweise den mit der gleichen x-Koordinate wie den Brennpunkt \(F\) - also hier \(P(2;\, 4)\) (s. Skizze). Er erfüllt die Bedingung \(y^2=8x\) und ist genauso weit von der Leitlinie \(x=-2\) wie vom Brennpunkt \(F(2;\, 0)\) entfernt - nämlich mit Abstand \(4\).