Vektorschaaren | Lagebeziehung

Question

Aufgabe: Von einem Turm T gehen 6 Bohrungen aus. Diese werden mit g_a   gekennzeichnet.

Es gibt einen Mienen schacht AB und die Hohlräume H1 H2 wo bergleute verschüttet wurden.

Daten: A(8|2|-2) ; B(15|16|-9) ; H1(22|6|-14) ; H2(12|16|-4)

 g_a : x= (4|6|0) + r (13-a|a-4|a-11)

a= 0,2,4,6,8,10

Problem:

So ich hab jetzt erstmal die gleichung für AB aufgestellt : AB: x= (8|2|-2) +s (7|14|-7)

muss ich jetzt in der gleichung für g_a für a jeden wert von 0 bis 10 einsetzten und dann mit der Gleichung von AB gleichsetzen um herauszufinden ob sie sich schneiden?

Answer 1

Man kann den Schnittpunkt auch in Abhängigkeit von a finden:

(4|6|0) + r (13-a|a-4|a-11)=(8|2|-2) +s(7|14|-7).

Comments

Achso kann ich dann aber auch die kompletten schnittpunkte herausfinden, da ich ja mehrere brauche wegen den 6 bohrungen, also ich soll herausfinden ob der schacht von den bohrungen getroffen wurde und wenn ja , wo

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Also wären die 3 gleichungen:

1. 4+ r*13-a = 8+7s

2. 6 + r*a-4 = 2+14s

3. r*a-11 = -2-7s

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1. 4+ r*(13-a) = 8+7s

2. 6 + r*(a-4) = 2+14s

3. r*(a-11) = -2-7s

Da fehlten einige Klammern.

Mein Ergebnis a=7, r=1 und s=3/7.

Answer 2

a)

S = [8, 2, -2] + r·[7, 14, -7] = [4, 6, 0] + s·[13 - a, a - 4, a - 11] --> a = 6 ∧ r = 3/7 ∧ s = 1

S = [8, 2, -2] + 3/7·[7, 14, -7] = [11, 8, -5]

Dabei ist folgendes Gleichungssystem zu lösen.

7·r + 8 = - a·s + 13·s + 4
14·r + 2 = a·s - 4·s + 6
- 7·r - 2 = a·s - 11·s

Das solltest du hin bekommen.

Comments

Hab eine Frage, sie haben das beim gleichsetzten jetzt umgedreht das iat aber egal wie rum ich das schreibe oder?

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Ja das ist egal. Es gilt das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) der Addition und auch der Multiplikation.

z.B.

8 + r·7 = 7·r + 8

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so jetzt kann ich die  Zweite reihe + die erste rechnen oder damit -ar und ar wegfällt?

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Es gibt kein ar sondern nur ein as. Aber du meinst das Richtige.

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aber in der aufgabe steht die variable r ja in der gleichung mit den parametern a sie haben das aber umgedreht, jetzt bin ich verwirrt welche zahl zur welcher variable gehört bzw. ob ich r und s jetzt tauschen muss

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Achso. Es ist egal ob du r und s vertauscht oder nicht. Es kommt ja hier nicht auf die berechnung von r und s an.

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ich habe jetzt wenn ich gleichung 2 + gleichung 1 rechen :

10+21r= 10+9s raus was mache ich jetzt?

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Du addiert noch die I. und III. Gleichung. Dann hast du zwei Gleichungen mit nur noch zwei Unbekannten.

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die ursprüngliche erste oder ist das was ich ausgerechnet habe die neue erste gleichung?

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Du eliminierst aus dem Ursprünglichem Gleichungssystem eine Unbekannte. So dass du nur noch 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten erhältst.

7·r + 8 = - a·s + 13·s + 4
14·r + 2 = a·s - 4·s + 6
- 7·r - 2 = a·s - 11·s

II + I ; III + I

21·r + 10 = 9·s + 10
6 = 2·s + 4

Das kannst du dann direkt auflöen.

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jo das hab ich auch aber wo setzte ich S jetzt ein um r zu kriegen?

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6 = 2·s + 4

Hast du nur noch eine Unbekannte in einer Gleichung kannst du die Unbekannte direkt ausrechnen.

Dann setzt du das Ergebnis in eine Gleichung ein wo du neben dem s z:b. noch das r hast. Und dann kannst du auch a ausrechnen.

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jo hab alles ausgerechnet, ich hab einen bisschen anderen weg genommen , ich hab zuerst erste plus dritte reihe ausgerechnet  dadurch hatte ich sofort das s ausgerechnet, dann hab ich s in die erste und zweite eingesetzt und diese aufgeköst um r herauszufinden dann hab ich beide in 3. eingesetzt und für a = 6 heraus bekommen. wie bestimmt man hier noch die schnittpunkte?

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Das steht doch bei mir schon oben. Indem du in die Geradengleichungen r, s und a einsetzt. Dann sollte bei beiden Geraden der gleiche Punkt herauskommen. Wenn du beides berechnest hast du also noch eine Kontrolle.

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Wie finde ich heraus ob eine der Bohrungen senkrecht nach unten führt

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Wenn der Richtungsvektor linear abhängig zu [0, 0, 1] ist.

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Wie meinen sie das? Also wie müsste ich das aufschreiben?

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(13-a | a-4 | a-11) = k * (0 | 0 | 1)

Da sollte man so schon sehen das das offensichtlich nicht geht. Also führt keine Bohrung senkrecht nach unten.

Aber warum kommst du da nicht selber drauf?

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Das ist eine schwere frage, mein verständnis ist halt nicht so gr0ß tut mir leid..

aber was genau bedeutet die variable K jetzt, ich würde gerne alles dazu wissen

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Wie schreibst du das normal auf wenn du prüfen sollst ob zwei Vektoren linear abhängig sind ?

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Das haben wir noch nicht gemacht, da wir ja jetzt länger frei haben sollen wir uns alles selber bei bringen, wir kriegen nur dasMaterial zugeschickt..

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Das sollte in jedem Mathebuch über Vektoren drinstehen :) Und wenn die Unterlagen gut sind dann auch in denen.

Zwei Vektoren a, b ≠ 0 sind linear abhängig wenn der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist

a = k·b

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ah jetzt hab ich es endlich vertanden, danke sehr