Trefferwahrscheinlichkeit klein p gesucht

Question

Aufgabe:

Ein Computerchip wird mit der Wahrscheinlichkeit p fehlerfrei produziert. Berechne, wie groß p sein muss, damit von 50 Chips mindestens 40 Chips mit mehr als 80%iger Wahrscheinlichkeit fehlerfrei sind.

2. Ein Zahnarzt weiß, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Patienten Karies zu diagnostizieren, etwa 0,8 beträgt.
Wie viele Karteikarten muss man der Patientenkartei zufällig entnehmen, wenn dabei mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% drei oder mehr Patienten mit Kariesbefund sein sollen ?

Problem/Ansatz:

P(x>_40)>_0,8

1-P(x<_39)>_0,8

 50 über 40*p^40*(1-p)^50-40

Wie stelle ich das nach p um? Bisher hätten wir immer sowas wie 5 über 5 stehen gehabt, was sich dann zu eins weg gekürzt hat...

Bei nr. 2 dasselbe Problem.

1-P(x<_2)>_0,95

F(n; 0,8; 2)<_0,05

Muss man solche Fälle mit dem TR lösen? Wenn ja, wie funktioniert das?

Answer 1

Das sieht bei mir etwa wie folgt aus:

μ = n·p = 50·p
σ = √(50·p·(1 - p))

P(X ≥ 40) = 1 - Φ((39.5 - μ)/σ) = 0.8
Φ((39.5 - μ)/σ) = 0.2
(39.5 - μ)/σ = -0.8416
39.5 - μ = -0.8416·σ
39.5 - 50·p = -0.8416·√(50·p·(1 - p)) → p = 0.8343

Da dieses nur eine Näherungslösung ist kann man mit mit der Binomialverteilung nochmal nachprüfen.

Comments

Gibt es keine Möglichkeit das ohne dem Wissen der Normalverteilung zu lösen? Denn zu dem Zeitpunkt, als wir die Aufgabe bekamen, kannten wir dieses Vorgehen noch nicht und zudem ist es eine Aufgabe unter der Überschrift „Bernoullie Formel“.

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Ich weiß nicht was für Taschenrechner ihr nutzt. Eventuell einen der die Auflösung der Bernoulli Formel für dich übernimmt. Dann löst das obige der Taschenrechner für dich.

Die Summenformel der Binomialverteilung kannst du nicht nach p auflösen.

Aber du kannst Testweise natürlich für t Werte einsetzen und das durch Probieren lösen.

Welchen Weg ihr beschreiten sollt, könntet ihr mit dem Lehrer abklären.

Mir würde es langen wenn die Schüler ein paar Werte probieren und dann angeben in welche Bereich p liegen muss. das man das beliebig genau machen kann wenn man beliebig viel Zeit hat dürfte dann klar sein.