Lineare Abbildungen, Linearität und kanonische Basis Matrix finden

Question

Aufgabe:

Sei w = ( a b c) ,  w ̸= 0, vorgegeben. Rechnen Sie nach, dass die folgenden Abbildungen tatsäachlich linear sind und finden Sie jeweils die entsprechende Matrix (bzgl. der kanonischen Basen).

(a) L: R3 -> R3, definiert durch L(v) = w x v für alle v_2 R3.
(b) L: R3 -> R, definiert durch L(v) = ⟨w; v⟩ für alle v_2 R3.
(c) L: R2 -> R, definiert durch L(v) = det(v; (ab)) für alle v_2 R2.

Problem/Ansatz:

Ich weiss nicht, wie ich die Matrix zu den Basen finden soll...

Die Linearität hätte ich einfach dadurch gezeigt, dass L(v +w) = L(v) + L(w) ist und L(a*v) = a * L(v). Oder muss man das noch anders zeigen? 
Dann weiss ich aber nicht, wie ich jetzt eine Matrix zu den drei Beispielen finden soll. Ich habe ja nur die Lösung von L(v), nicht aber von L(w)? Wie finde ich L(w) heraus? Und wie kann ich die Matrix berechnen?

Answer 1

Aloha :)

Du sollst prüfen, ob die Abbildung \(L\) die nötigen Kriterien für Linearität erfüllt. Da wir eh entsprechende Abbildungsmatrizen angeben sollen, bilden wir diese zuerst und nutzen sie, um die Linearität zu zeigen.$$L(\vec v)=\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}bv_3-cv_2\\cv_1-av_3\\av_2-bv_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0v_1-cv_2+bv_3\\cv_1+0v_2-av_3\\-bv_1+av_2+0v_3\end{array}\right)$$$$L(\vec v)=\underbrace{\left(\begin{array}{c}0 & -c & b\\c & 0 & -a\\-b & a & 0\end{array}\right)}_{=:A_L}\cdot\vec v$$Der Nachweis der Lineariät kann nun mit Hilfe der Eigenschaften von Matrizen schnell erbrecht werden:
$$L(\vec v+\vec w)=A_L\cdot\left(\vec v+\vec w\right)=A_L\cdot\vec v+A_L\cdot\vec w=L(\vec v)+L(\vec w)$$$$L(\lambda\cdot\vec v)=A_L\cdot(\lambda\vec v)=\lambda(A_L\cdot\vec v)=\lambda\cdot L(\vec v)$$Jetzt solltest du die Teile (b) und (c) eigentlich alleine hinkriegen. Falls nicht, frag einfach nochmal nach ;)

Ergänzung auf Grund einer Rückfrage:

Bei (b) ist mit \(\langle\cdot|\cdot\rangle\) das Skalarprodukt gemeint. Die Abbildungsmatrix sieht so aus:$$L(\vec v)=\left<\left.\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)\right|\left(\begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\end{array}\right)\right>=av_1+bv_2+cv_3=\underbrace{\left(\begin{array}{c}a & b & c\end{array}\right)}_{=A_L}\cdot\vec v$$Die Abbildungs-Matrix bei der (b) ist eine \(1\times3\)-Matrix. Die Linearität zeigst du damit exakt so wie bei der (a). Du kannst die Zeilen einfach abschreiben oder darauf verweisen.

Bei (c) muss ich selbst knobeln, was der Aufgabensteller wohl gemeint haben könnte. Da steht \(v\in\mathbb{R}^2\), also ist hier sehr wahrscheinlich eine \(2\times2\)-Determinate gemeint. Die Abbildungs-Matrix dazu wäre dann:$$L(\vec v)=\text{det}\left(\begin{array}{c}v_1 & v_2\\a & b\end{array}\right)=\text{det}\left(\begin{array}{c}v_1 & a\\v_2 & b\end{array}\right)=bv_1-av_2=\underbrace{\left(\begin{array}{c}b & -a \end{array}\right)}_{=A_L}\cdot\vec v$$Die Abbildungsmatrix \(A_L\) ist diesmal noch weiter auf eine \(1\times2\)-Matrix zusammengeschrumpft. Aber es ist eine Matrix und damit kannst du die Linearität exkat wie oben zeigen.

Comments

Vielen lieben Dank! Das gibt schon viel mehr Sinn.

Ja, das Prinzip hab ich nun verstanden, nur leider verwirrt ich bei b) diese eckige Klammer. Was bedeutet das?

Und bei c), wie kann ich die Determinante von (v, (ab) ) berechnen? Muss ich da erst v * (ab) rechnen und dann die Determinante davon?

Ich hätte dann zB für c gemacht: (xy) * (ab) = xa + by

Aber det(xa + by) wüsste ich nicht wie ausrechnen ....

!

---

Aloha Melly ;)

Auf Grund deiner Nachfrage habe ich meine Antwort ergänzt.

Schau mal bitte, ob du jetzt damit klar kommst.

Stefan (aka Tschaka)

---

Vielen Dank!

Achsoo, ich wusste nicht, dass man auch eine Matrix im 1-dimensionalen darstellen kann.