Permutationsaufgabe und Matrizen?

Question

Moin Leute,

ich lerne gerade für meine Matheklausur im Studium. Würde mir einer bitte erklären, wie diese Aufgabe funktioniert? (

Wir untersuchen die Menge H aller linearen Abbildungen, die einen gleichseitigen Achtecke auf sich selbst abbilden, d.h. Drehungen und Achsenspieglungen. Die Ecken des Oktagons nummerieren wir mit  1, . . . , 8 und mit ◦ bezeichnen wir die Komposition von Abbildungen.

a) Bezeichnen Sie alle Selbstabbildungen mit einem Buchstaben und geben Sie sie als Permutation der Ecken an. b) Ist die Komposition ◦ abelsch? c) Lösen Sie die Gleichung:

Gruß

Platofan23

Die Drehung habe ich verstanden, da lasse ich die Zahl im unteren Teil der Matrix immer herum um 1 erhöhen

zur a)

A=12345678

B=23456781

C=34567812

D=45678123

E=56781234

F=67812345

G=78123456

H=81234567

Nun fehlen noch die Achsenspielgelungen...

Answer 1

Das 8-eck sieht ja so aus:

~draw~ polygon(2|0 1.41|1.41 0|2 -1.41|1.41 -2|0 -1.41|-1.41 0|-2 1.41|-1.41);punkt(-3|4 "P");zoom(3) ~draw~

Bezeichne den Punkt (2|0) als 1 und dann der Reihe nach gegen den Uhrzeigersinn die anderen

Ecken mit 2,3,4,5,...,7,8

Die Spiegelung an der x-Achse ( also an der durch 1 und 5 ) ist dann gemäß deiner Schreibweise

18765432

und die durch die Achse von 6 nach 2 wäre dann

32187654

Und so kannst du es auch mit den anderen Achsen machen.

Comments

das mit dem aufzeichnen hab ich verstanden, aber ich komme noch nicht ganz auf den rechnungsweg der spiegelung.... kannst du mir an deinem beispiel nochmal den rechenweg zeigen?

---

wie gesagt:

Die Spiegelung an der x-Achse ( also an der durch 1 und 5 ) ist dann gemäß deiner Schreibweise

18765432

weil dabei ja die Ecke 1 fest bleibt

und die 2 wird auf die 8 abgebildet

und die 3 auf die 7

und die 4 auf die 6

und die 5 bleibt wieder fest

und die 6 auf 4

und die 7 auf die 3

und die 8 auf die 2

---

achso ich verstehe. ich war die ganze zeit dabei a-h an das achteck einzutragen, aber ich muss ja quasi nur den einen punkt eintragen und dann schauen. so richtig?

---

Jeden Punkt spiegeln und aufschreiben wohin er gespiegelt wird.

---

Vielen Dank. Hab es verstanden. Danke du hast mir echt viel Zeit erspart. Auch schlau von mir die y-Achse anstatt die x-Achse zu nehmen XD