Skalarprodukte mit Variable errechnen

Question

Hallo.

ich habe die Vektoren a b a und b -a 0

wie kann ich das Skalarprodukt berechnen?
Ansatz: (a*b) + (-a*b) + (a*0). Das kann ich aber nicht so lassen, oder? Wäre das Endergebnis a +b^2 ?

Und ich hätte noch ein Problem mit Variablen. Diesmal ist allerdings noch ein Problem dazu gekommen. Ich kann nämlich die Vektoren nicht nur miteinander multiplizieren, da ich noch ein Plus zwischen den Vektoren habe:

4     8       12    -3

2 *  3a  +  -a *    2

1     3       2a     -2

Answer 1

Hallo,

Ansatz: (a*b) + (-a*b) + (a*0). Das kann ich aber nicht so lassen, oder? Wäre das Endergebnis a +b² ?

Das kannst Du so lassen, nur Du musst es richtig ausrechen. Es ist$$a \cdot b + (-a \cdot b) + a \cdot 0 = ab - ab = 0$$

da ich noch ein Plus zwischen den Vektoren habe:

da ist kein Plus zwischen den Vektoren, sondern ein Plus zwischen den Skalarprodukten. Es gilt auch hier: Punkt- vor Strichrechnung. Also zuerst ist die Multiplikation auszuführen und erst danach die Addition. Und da das Ergebnis der Multiplikation eine Zahl ist, ist das anschließend eine Addition von Zahlen. $$\begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\ 3a\\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 12\\-1\\ 2a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3\\2 \\ -2 \end{pmatrix} \\ \quad = (4 \cdot 8 + 2 \cdot 3a + 1 \cdot 3) + (12 \cdot (-3) + (-1) \cdot 2 + 2a \cdot (-2)) \\ \quad = (32 + 6a + 3) + (-36 - 2 - 4a) \\ \quad = 35 + 6a - 38 - 4a \\ \quad = -3+ 2a$$

Comments

hallo vielen Dank für die ausführliche Lösung :) ich muss also die ersten 2 Vektoren addieren und dazu addiere ich noch die Summe der letzten zwei, ist das richtig?

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ich muss also die ersten 2 Vektoren addieren ..

Nein! - das ist keine Addition. Stelle Dir das Skalarprodukt wie die physikalische Leistung beim Ziehen eines Schlittens vor. Es ist ist eine Operation (quasi eine Multiplikation) auf zwei Vektoren und das Ergebnis ist immer ein Skalar - also eine Zahl.

Beim Schlittenziehen ist einer der Vektoren die Geschwindigkeit des Schlittens und der andere die Kraft mit der Du ziehst. Das Produkt ist kein Vektor, sondern die Leistung (also Deine Schweißproduktion!), mit der der Schlitten gezogen wird.

Ziehst Du den Schlitten waagerecht, so ist Deine Kraft gut eingesetzt. Beide Vektoren zeigen in etwa in die gleiche Richtung. Ziehst Du senkrecht nach oben (ich unterstelle, der Schlitten ist zu schwer, um ihn anzuheben), so passeirt gar nichts. Du kommst nicht voran. Die Vektoren (Zugrichtung und Schlittengeschwindigkeit) stehen senkrecht auf einander und das Skalarprodukt und somit die Leistung ist gleich 0.

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danke  für die Erklärung :D

Answer 2

Ansatz: (a*b) + (-a*b) + (a*0) oder auch ab - ab + 0. Das ergibt 0!!!!!