Komplanare Vektoren - Untersuchung

Question

a = 1 0 1

b = 0 1 1

c= 1 1 1

sind die Vektoren komplanar?
Ansatz: a=r*b+s*c

=>Gleichunssysten

1s=1

1r+1s=0

1r+1s=1

jetzt komme ich nicht weiter, da es irgendwie kommisch ist,dass 1r und 1s 0 und auch 1 ergeben können. Ich brauche Hilfe

Answer 1

Hallo,

da es irgendwie kommisch ist,dass 1r und 1s 0 und auch 1 ergeben können.

Ja das ist komisch - das bedeutet doch, dass es kein Paar Zahlen \(r\) und \(s\) gibt, das die Gleichung $$a = r \cdot b + s \cdot c$$erfüllt. Daraus wiederum kann man schließen, dass die drei Vektoren \(a\), \(b\) und \(c\) linear unabhängig und somit nicht koplanar sind.

Mache Dir das mal graphisch klar

(klick auf das Bild) die Vektoren \(c\) und \(b\) spannen eine Ebene (grün) auf. Mit jeder Linearkombination \(r\cdot b + s \cdot v\) kann man jeden Punkt der Ebene erreichen, aber die Ebene nicht verlassen. Wie man aber in der Szene sieht, liegt \(a\) außerhalb dieser Ebene.

Also sind die drei Vektoren nicht koplanar.

Comments

achso ja ok wenn man auf keine Lösung kommt sind die Vektoren nicht komplanar...macht eigentlich Sinn :D vielen Dank