Wenn ich Prüfen will ob ein Vektor als Linearkombination zweier anderer Vektoren dargestellt werden kann
\(\vec{u}\) kann als Linearkombination der Vektoren \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) dargestellt werden, wenn die Gleichung
(1) \(\vec{u} = \alpha\vec{v}+\beta\vec{w}\)
lösbar ist.
wenn ich Prüfen will ob 3 Vektoren Komplenar sind
Die Vektoren \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) sind komplanar, wenn die Gleichung
(2) \(\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} + \gamma\vec{w} = \vec{0}\)
mehr als eine Lösung hat. Wenn Gleichung (2) mehr als eine Lösung hat, dann muss in einer der Lösung \(\alpha \neq 0\) oder \(\beta \neq 0\) oder \(\gamma \neq 0\) sein. Angenommen es ist \(\alpha \neq 0\). Dann kannst du die Gleichung umformen zu
(3) \(\vec{u} = \frac{\beta}{-\alpha}\vec{v}+\frac{\gamma}{-\alpha}\vec{w}\)
Das ist im wesentlichen Gleichung (1). Das heißt \(\vec{u}\) lässt sich als Linearkombination von \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) darstellen. Wie gesagt gilt das aber nur unter der Annahme, dass \(\alpha \neq 0\) ist. Es könnte ebenso sein, dass \(\alpha = 0\) in jeder Lösung von (2) ist, zum Beispiel
\(\vec{u} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{v} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{w} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\).
In diesem Beispiel lässt sich \(\vec{u}\) nicht als Linearkombinarion von \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) darstellen. Stattdessen lässt sich \(\vec{v}\) als Linearkombination von \(\vec{u}\) und \(\vec{w}\) darstellen.
Die drei Vektoren \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) sind komplanar, wenn es unter ihnen mindestens einen gibt, der sich als Linearkombination der zwei anderen darstellen lässt. Das heißt nicht, dass sich jeder der drei Vektoren als Linearkombination der zwei anderen darstellen lassen muss.
