Extremwertaufgabe lösen.

Question

Aufgabe:

Aus einem Draht soll das Kantenmodell einer quadratischen Säule hergestellt werden. Der Draht ist 36cm lang.

Problem/Ansatz:

Wie sind die Kantenlängen zu wählen damit die Säule maximales Volumen hat?

Answer 1

damit die Säule maximales Volumen hat

Formel für das Volumen aufstellen. Für das Volumen eines Quaders mit Seitenlängen a, b und c gilt:

(1)        V = a·b·c.

Aus dieser Formel wird mittels weiterer Bedingungen eine Funktion erstellt.

einer quadratischen Säule

Dann ist

        a = b.

Einsetzen in (1) ergibt

(2)        V = a² · c.

Der Draht ist 36cm lang.

Die Säule besteht aus 8 Kanten der Länge a und 4 Kanten der Länge c. Somit ist

        36 = 8a + 4c.

Umstellen nach c ergibt

(3)        c = 9 - 2a

Einsetzen in (2) ergibt

(4)        V(a) = a² · (9 - 2a).

Bestimme die x-Koordinate des Hochpunktes. Setze diese in (3) ein um die andere Seitenlänge zu bestimmen.

Wie sind die Kantenlängen zu wählen

Kantenlängen können nicht negativ sein. Wenn du also für a oder für c eine negative Lösung bekommst, dann ist diese Lösung im Sachzusammenhang nicht brauchbar. In diesem Fall findest du die Lösung am Rand des Definitionsbereiches von (4). Dieser ist bestimmt durch a ≥ 0 und c ≥ 0. Definitionsbereich von V ist also das Intervall [0, 4,5].