Formel Beweis Ableitung

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hallo könnt ihr mir bitte bei diesen beiden Aufgaben helfen?

Ich weiß nicht, wie ich ansetzen soll... alt Lösungsheft kommt x=10km bei der oberen Aufgabe und bei der Unteren x=s/(wurzel (r1/r2)^8-1 und tan alpha=wurzel (r1/r2)^8-1.

Zwei Orte A und B möchten an einem in der Nähe befindlichen, geradlinigen Abschnitt CD eines Flussufers eine gemeinsame Trinkwasseraufbereitungsanlage E errichten (Maße in der Abbildung in Kilometer). Wo ist diese anzulegen, damit die Gesamtlänge der geradlinigen Rohrleitungen AE und BE möglichst niedrig ist? Hinweis: Zeige zuerst sin \( \alpha=\sin \beta, \) woraus \( \alpha=\beta \) folgt! Die Dreiecke ACE und BED müssen also ähnlich sein.

Das Blutgefäßsystem des Körpers ist im Großen und Ganzen so angelegt, dass der Bluttransport mit möglichst geringem Widerstand erfolgt. Der Blutwiderstand R in einem zylindrischen Blutgefäß mit der Lange l und dem Radius r beträgt: \( R=k \cdot \frac{1}{k^{2}} \) Daber ist k eine Konstante, die von der Viskosität (Dünnflüssigkeit) des Bluts abhängt. Ein von A ausgehendes Hauptblutgefäß habe den Radius \( r_{1} \). Der Punkt B wird durch eine vom Punkt C ausgehende seitliche Verzweigung mit dem Radius \( r_{2} \) erreicht \( \left(r_{1}>r_{2}\right) . \) Zeige:
1) Die optimale Lage des Verzweigungspunktes C (dh. jener Wert von \( x \), für den der Gesamtwiderstand des Bluts von A über C nach B am kleinsten ist) hängt lediglich von s und dem Verhältnis \( \frac{r_1}{r_{2}} \) ab.
2) Der optimale Verzweigungswinkel \( \alpha \) hängt lediglich vom Verhältnis \( \frac{r_{1}}{r_{2}} \) ab. (Es genügt, dies für tan \( \alpha \) zu zeigen.)

Answer 1

Die obere Aufgabe; Lösung ohne Winkel:

Nenne AE=a und EB=b.Dann gilt: a=√(x²+36) und b=√(144+(30-x)²).

Zu minimieren ist f(x)=√(x²+36)+√(144+(30-x)²).

Einzige Nullstelle von f '(x) ist x=10.

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Vielen Dank!!!

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Wenn ich f(x) ableite, erhalte ich: x/(wurzel(x^2+36))+(x-30)/wurzel(144+(30-x)^2). Wenn ich diese Null setze, erhalte ich x=15... Was mach ich falsch?

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Der Zähler der Ableitung ist      
x·√(x²  - 60·x + 1044) + (x - 30)·√(x²  + 36).

Nur, wenn dieser 0 ist, ist die Ableitung 0.

Answer 2

Die erste Aufgabe mit Mitteln der 8. Klasse:

Spiegle A an CD, der Bildpunkt sei A'.

Dann ist AE so lang wie A'E, und AE + EB wird minimal, wenn A'E + EB minimal wird.

Die kürzeste Verbindung zweier Punkte ist eine Gerade.

Der Weg von A' zu B über die Zwischenstation E wird minimal, wenn E auf der Gerade A'B liegt.

In dem Fall sind die Dreiecke A'EC und BED ähnlich (ein Paar Scheitelwinkel bei E, ein Paar rechte Winkel), und der Ähnlichkeitsfaktor ist 12:6 = 2:1.

Dann gilt auch DE : EC = 2 : 1, somit muss CE ein Drittel von 30 sein.

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Vielen Dank!!!