Ableiten von f(x)= x^2-2x+1 h-Methode

Question

Aufgabe: mit der h-Methode folgendes rechnen

x^2-2x+1

((x+h)^2-2(x+h)+1)/h

=(x^2+2xh+h^2+1)/h

=(x^2+h^2+1)/h

=x^2+h+1

Lim h->0 = 1+x^2

Answer 1

f(x)=x²-2x+1

f(x+h)=(x+h)²-2(x+h)+1=x²+2hx+h²-2x-2h+1

f(x+h)-f(x)=x²+2hx+h²-2x-2h+1-(x²-2x+1)=2hx+h²-2h=h(2x+h-2)

\( \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \) =2x+h-2.

Für h=0 ist das 2x-2.

Comments

Okay.. da blicke ich irgendwie nicht durch...

Answer 2

Hallo Mathegenie,

die Steigung \(m\) einer Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_0\) lautet nach der h-Methode ganz allgemein $$m = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$nun setzt man für \(f(x)= x^2 - 2x +1\) alles ein$$\begin{aligned}m &= \frac{(x_0 + h)^2 - 2(x_0 + h) + 1 - (x_0^2 - 2x_0 + 1)}{h} \\ &= \frac{x_0^2 + 2hx_0 + h^2 - 2x_0 - 2h + 1 - x_0^2 + 2x_0 -1}{h} \\&= \frac{2hx_0 + h^2 - 2h}{h} \\&= 2x_0 - 2 + h\end{aligned}$$und wenn \(h \to 0\) wird, so bleibt nur \(2x-2\) übrig.