lineares Gleichungssystem mit vier Unbekannten

Question

Aufgabe:

0,5a +0,5b = 0,5

0,5c + 0,5d = 0,5

Wie löse ich es?

Answer 1

Aloha :)

Die beiden Gleichungen sind völlig unabhängig voneinander. Aus der ersten folgt:$$0,5a+0,5b=0,5\quad\Leftrightarrow\quad a+b=1$$und aus der zweiten folgt:$$0,5c+0,5d=0,5\quad\Leftrightarrow\quad c+d=1$$Damit bekommst du 4 Lösungsvektoren, je nach dem, welche 2 Größen du variabel lässt:

a, c variabel: \(\left(\begin{array}{c}a\\1-a\\c\\1-c\end{array}\right)\)

a, d variabel: \(\left(\begin{array}{c}a\\1-a\\1-d\\d\end{array}\right)\)

b, c variabel: \(\left(\begin{array}{c}1-b\\b\\c\\1-c\end{array}\right)\)

b, d variabel: \(\left(\begin{array}{c}1-b\\b\\1-d\\d\end{array}\right)\)

In jedem Fall gibt es unendlich viele Lösungen ;)

Answer 2

Wir haben zwei Gleichungen und vier unbekannte Variablen, das bedeutet dass wir keine eindeutige Lösung finden können, es bleiben nämlich zwei freie Variablen. Du kannst jede Gleichung nach einer Variablen auflösen und dann im Lösungsvektor $$(a,b,c,d)^T$$ einsetzen.

Comments

also unendliche viele Lösunge?

Gib mal paar Beispiele an...?

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Wir können die erste Gleichung z.B. nach a auflösen und die zweite z.B. nach c. Dann bekommen wir $$0,5a +0,5b = 0,5 \Rightarrow 0,5a  = 0,5-0,5b \ \overset{:0,5 }{\Rightarrow} \ a=1-b \\ 0,5c +0,5d = 0,5 \Rightarrow 0,5c  = 0,5-0,5d \ \overset{:0,5 }{\Rightarrow} \ c=1-d $$ 

Der Lösungsvektor ist dann $$\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\\ d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-b \\ b \\ 1-d \\ d\end{pmatrix}$$ wobei b und d beliebig sind.