inverse Matrizen bestimmen

Question

Situation:

Der Materialfluss lässt sich der folgenden Matrix bzw. der Tabelle entnehmen ( Angaben in Mengeneinheiten)

$$ BZE = \left( \begin{matrix} 2 & 9 & 0 \\ 12 & 7 & 5 \\ 1 & 3 & 6 \end{matrix} \right) $$

$$ CRE = \left( \begin{matrix} 107 & 104 & 46 \\ 14 & 54 & 36 \\ 139 & 104 & 73 \end{matrix} \right) $$

Aufgabe : Die Matriz BZE beschreibt die Verflechtung der zweiten Produktionsstufe.

a) Erklären Sie begründet, welche der beiden nachfolgenden Matrizen die inverse der Matrix BZE darstellt.

$$ B1 =1/54 = \left( \begin{matrix} -27 & 54 & -45 \\ 67 & -12 & 10 \\ -29 & -3 & 94 \end{matrix} \right) $$

$$ B2 =1/549 = \left( \begin{matrix} -27 & 54 & -45 \\ 67 & -12 & 10 \\ -29 & -3 & 94 \end{matrix} \right) $$

b) Berechnen Sie mit Ihrer Auswahl der inversen Matrix BZE die Matrix ARZ der ersten Produktionsstufe

Kontrollösung: $$ ARZ = \left( \begin{matrix} 5 & 8 & 1 \\ 4 & 0 & 6 \\ 2 & 11 & 3 \end{matrix} \right) $$

Problem/Ansatz : ich weiß bei a) nicht wie ich das herausfinden soll und entsprechend begründen soll und bei b) komme ich auch nicht weiter da ich bereits versucht habe die ARZ- Matrix zu invertieren. Komme nicht mehr weiter, Wer kann mir helfen?

Answer 1

Aloha ;)

Eine Matrix \(A\) mit ihrer inversen Matrix \(A^{-1}\) multipliziert ergibt die Einheitsmatrix. Da die Matrizen bis auf einen Vorfaktor gleich sind, brauchst du einfach nur das Element links oben der Produktmatrix zu bestimmen und mit \(1\) vergleichen:$$\left( \begin{matrix} 2 & 9 & 0 \\ 12 & 7 & 5 \\ 1 & 3 & 6 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -27 & 54 & -45 \\ 67 & -12 & 10 \\ -29 & -3 & 94 \end{matrix} \right)=\left(\begin{array}{c}549 & . & .\\. & . & .\\. & . & .\end{array}\right) $$Damit ist klar, dass:$$BZE\cdot B_2=1$$Die Matrix der ersten Produktionsstufe ist daher:

$$ARZ=CRE\cdot B_2=\left( \begin{matrix} 107 & 104 & 46 \\ 14 & 54 & 36 \\ 139 & 104 & 73 \end{matrix} \right)\cdot1/549 \left( \begin{matrix} -27 & 54 & -45 \\ 67 & -12 & 10 \\ -29 & -3 & 94 \end{matrix} \right)$$$$\phantom{ARZ}=\left(\begin{array}{c}5 & 8 & 1\\4 & 0 & 6\\2 & 11& 3\end{array}\right)$$

Answer 2

Problem/Ansatz : ich weiß bei a) nicht wie ich das herausfinden soll und entsprechend begründen soll

Wenn man eine Matrix mit ihrer inversen Matrix multipliziert, erhält man die Einheitsmatrix.

Du musst also nur  BZE mit B1 bzw. mit B2 multiplizieren und sehen was rauskommt.

Wenn du Glück hast, ist bereits der erste Versuch ein Treffer. Wenn du Pech hast, klappt erst der zweite Versuch.

PS: Genau genommen reicht es schon, BZE mit \(\left( \begin{matrix} -27 & 54 & -45 \\ 67 & -12 & 10 \\ -29 & -3 & 94 \end{matrix} \right)\) zu multiplizieren.

Du solltest als Ergebnis eine Matrix der Form \(\left( \begin{matrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 &0 & a \end{matrix} \right)\) erhalten und kannst von dem Wert a schlussfolgern, welcher Faktor vor die Matrix gehört, um eine Einheitsmatrix zu bekommen.