Hallo,
Die Tangente an eine Hyberbel, die die Hyperbel im Punkt \((x_0;\,y_0)\) berührt, hat die Form $$\frac{x_0}{a^2} x- \frac{ y_0}{b^2} y =1$$Die Tangente, die Dir gegeben wurde, ist: $$\begin{aligned} t: \quad 3x+4y &=-16 \\ \frac{-3}{16} x - \frac 4{16}y &= 1\end{aligned}$$
... und den Berührpunkt T (-12|y)
d.h. dass \(x_0 = -12\) ist. Aus dem Koeffizientenvergleich der beiden Tangentengleichungen oben folgt dann$$\begin{aligned} \frac{x_0}{a^2} &= \frac{-3}{16} \\ \frac{-12}{a^2} &= \frac{-3}{16} \\ a^2 &= \frac{-12 \cdot 16}{-3} = 64 \\ a &= 8 \quad \text{für: } \space a \gt 0\end{aligned}$$und da der Punkt \((x_0; \, y_0)\) natürlich auch auf der Tangente liegt, muss er auch diese Gleichung erfüllen:$$\begin{aligned} 3x_0+4y_0 & =-16 \\ 3\cdot (-12)+4y_0 & =-16 \\ 4y_0 &= -16 +36 = 10\\ y_0 &= 5 \end{aligned}$$und dann kann man genau wie oben das \(b\) aus dem Koeffizientenvergleich bestimmen$$\begin{aligned} \frac{y_0}{b^2}&= \frac 4{16} \\ \frac{5}{b^2}&= \frac 14 \\ b^2 &= 20 \\ b &= \sqrt{20} \quad \text{für: } \space b \gt 0\end{aligned}$$
und wenn man sich das Ergebnis im Plot anschaut ...
~plot~ sqrt(20*(x^2/64 - 1));-sqrt(20*(x^2/64 - 1));[[-16|16|-9|12]];{-12|5};(-3x-16)/4 ~plot~
dann sieht das sinnvoll aus.
Gruß Werner
