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Aufgabe:


Von einer Hyperbel (in 1. HauptLage) kennt man eine Tangente t: 3x+4y=-16 und den Berührpunkt T (-12|y)


Ermittle die Gleichung der Hyperbel.


Problem/Ansatz:

Wie berechne ich die Gleichung der Hyperbel?

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Vom Duplikat:

Titel: Hyperbel ausrechnen, T gegeben

Stichworte: hyperbel

!! Ich habe diese Frage vorhin schon gepostet aber sie ist wohl unter den anderen neuen Fragen untergegangen...

Ich bitte um Hilfe !!!


Aufgabe :

Von einer Hyperbel (in 1. HauptLage) kennt man eine Tangente t: 3x+4y=-16 und den Berührpunkt T (-12|y)



Ermittle die Gleichung der Hyperbel.



Problem/Ansatz:

:-( ich bin am verzweifeln :-( :-(

3 Antworten

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Beste Antwort

Hallo,

Die Tangente an eine Hyberbel, die die Hyperbel im Punkt \((x_0;\,y_0)\) berührt, hat die Form $$\frac{x_0}{a^2} x- \frac{ y_0}{b^2} y =1$$Die Tangente, die Dir gegeben wurde, ist: $$\begin{aligned} t: \quad 3x+4y &=-16 \\ \frac{-3}{16} x - \frac 4{16}y &= 1\end{aligned}$$  

... und den Berührpunkt T (-12|y)

d.h. dass \(x_0 = -12\) ist. Aus dem Koeffizientenvergleich der beiden Tangentengleichungen oben folgt dann$$\begin{aligned}  \frac{x_0}{a^2} &= \frac{-3}{16} \\  \frac{-12}{a^2} &= \frac{-3}{16} \\ a^2 &= \frac{-12 \cdot 16}{-3} = 64 \\ a &= 8 \quad \text{für: } \space a \gt 0\end{aligned}$$und da der Punkt \((x_0; \, y_0)\) natürlich auch auf der Tangente liegt, muss er auch diese Gleichung erfüllen:$$\begin{aligned} 3x_0+4y_0 & =-16 \\ 3\cdot (-12)+4y_0 & =-16 \\ 4y_0 &= -16 +36 = 10\\ y_0 &= 5 \end{aligned}$$und dann kann man genau wie oben das \(b\) aus dem Koeffizientenvergleich bestimmen$$\begin{aligned} \frac{y_0}{b^2}&= \frac 4{16} \\ \frac{5}{b^2}&= \frac 14 \\ b^2 &= 20 \\ b &= \sqrt{20} \quad \text{für: } \space b \gt 0\end{aligned}$$

und wenn man sich das Ergebnis im Plot anschaut ...

~plot~ sqrt(20*(x^2/64 - 1));-sqrt(20*(x^2/64 - 1));[[-16|16|-9|12]];{-12|5};(-3x-16)/4 ~plot~

dann sieht das sinnvoll aus.

Gruß Werner

Avatar von 48 k
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Hallo,

ist dir bekannt, dass für einen Punkt (x_0|y_0) einer Hyperbel  mit der Gleichung

\( \frac{x²}{a²}- \frac{y²}{b²}=1\) die Tangente im Punkt (x_0|y_0) die Gleichung \( \frac{x\cdot x_0}{a²}- \frac{y\cdot y_0}{b²}=1\) hat?

Du solltest die Gleichung deiner vorgegebenen Tangente einfach mal durch (-16) teilen (und verwenden, dass x_0=-12 vorgegeben ist).

Avatar von 55 k 🚀

hab das mal ausgerechnet. Es kam y= 9 heraus. Und jetzt x ausrechnen und dann in die Hyperbel Gleichung setzten oder?

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Die Frage ist nicht untergegangen.

Ich sehe aber keinen Grund, dir alles vorzukauen.

Du hast behauptet, dass aus 3x+4y=-16  und x=-12 dann x=9 folgen würde. Wenn du damit die Probe machst kommt aber nicht -16, sondern 0 heraus. Also, nochmal auf Anfang...

Avatar von 55 k 🚀

Ich verstehe das aber nicht. Könntest du mir das bitte erklären?

Löse die Gleichung 3*(-12)+4*y=-16 diesmal richtig nach x auf.

-36 + 4y = -16

-20= 4y

-5 = y

So?

Nein, der Übergang von der ersten zur zweiten Zeile ist falsch.

Wie lautet dein geplanter Rechenbefehl für diesen Übergang?

Achso.

Das -36 nach rechts.

Also: 20=4y

y= 5

Ja, Auf dem Graphen der Hyperbel liegt also der Punkt (-12|5), somit gilt schon mal \( \frac{(-12)^2}{a^2}-\frac{(5)^2}{b^2} \)=1.

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