Äquivalenz von zwei Aussagen in R^d

Question

Liebe Community!

Folgende Teilaufgabe eines Proseminars macht mir zu schaffen:

Es sei  \(D \subset \mathbb{R}^n \) offen und \(f : D \rightarrow \mathbb{R}^d \) eine Funktion. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

a) \(f\) ist stetig

b) Das Urbild jeder offenen Teilmenge des \( \mathbb{R}^d \) ist eine offene Teilmenge von \(D\).

Vielen Dank im Voraus für jegliche Vorschläge!

Comments

Was verstehst du denn unter "Stetigkeit"? Welche äquivalenten Charakterisierungen kennst du? Was verstehst du unter "offen"?

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Mir ist bewusst, dass aus der Stetigkeit die Offenheit des Urbildes folgt, da die Stetigkeit zur Folge hat, dass überall eine Umgebung mit Punkten existieren muss. Dies entspricht ja eben der Definition einer offen Menge.

Mein Problem ist ein "stichhaltiger" mathematischer Beweis.

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Hallo

 dann schreib die Def von Stetigkeit mal genauer hin statt "dass überall eine Umgebung mit Punkten existieren muss." woraus schliessest du das?

 Gruß lul

Answer 1

Für die Richtung von b) nach a) hätte ich wohl eine Idee:

f stetig heißt ja: Für alle xo ∈ D ist f stetig in xo.

Sei also xo ∈ D.  Dann ist ja zu zeigen:

Zu jedem ε>0 gibt es ein δ>0 so dass für alle x∈D gilt

| x-xo| <δ  ==>  | f(x) - f(xo) | < ε.

Sei also ε > 0. Und U die ε-Umgebung von f(xo).

Dann ist nach Vor. das Urbild von U offen. Es enthält

jedenfalls xo, da f(xo) in U ist, und weil es offen ist auch eine

δ-Umgebung von xo.  Und für alle x aus dieser gilt dann ja

| x-xo| <δ  ==>  | f(x) - f(xo) | < ε.