Konvergiert die Reihe bzw. existiert ein Grenzwert? lim n->∞ ∑(√(j-1) - √j ) von j=1 bis n

Question

Reihe: lim n->∞ ∑(√(j-1) - √j )  von j=1 bis n

Ich habe den term quadriert und j-j hebt sich auf wodurch nur -1 bleibt. Ist das richtig? Wenn ja reicht das als Beweis für Konvergenz? Wenn nicht kann mir jemand weierhelfen vielleicht durch die anwendung eines der Konvergenzkriterien?

Comments

Mach einen Bruch draus. (Eintel) und erweitere mit 3. Binom.

Also: mal:

(√(j-1) + √j) / (√(j-1) + √j)

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habe ich gemacht und komme auf -1/(√j^2 -j). Was gescheiteres bekomme ich nicht raus deshalb würde ich sagen die reihe ist divergent. Kannst du das mal überprüfen?

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Sieht nach Teleskopsumme aus. ∑_j=1,...,n (√(j-1) - √j) = -√n.

Answer 1

Sehr guter Kommentar. Teleskopsumme ist viel direkter.

oEdA Abschätzung der Folgeglieder unter der Voraussetzung, dass j natürliche Zahl und gross genug so dass alle folgenden > gelten.

(√(j-1) - √j)(√(j-1) + √j) / (√(j-1) + √j) = (j-1-j)/(√j + √(j-1)) =  -1/(√j + √((-1))< -1/(2√j ) < -1/2j=  -1/2*1/j

Somit wäre -1/2 * harmonische Reihe eine divergente Minorante.

Folgerung: Die Reihe divergiert gegen Minus unendlich.

Comments

Wie hast du den Nenner im ersten schritt in die  Form (j-1 + j - 2√((j-1)j) gebracht?

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Wo ist denn  j + j  nach dem zweiten Gleichheitszeichen im Nenner geblieben? Die Folgeglieder sind alle negativ, können also nicht größer als  1/(3j)  sein.

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Danke für den Hinweis. Hoffe, dass du das inzwischen selbst korrigieren konntest.

Komme nun auf 1/5 * harmonische Reihe

als divergente Minorante.

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Wie kann das sein, wenn alle Folgeglieder negativ sind?

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Stimmt. Da musst du noch Beträge ergänzen! oder meine Nachkorrektur mit dem Minus umschreiben.

Aber wie zuerst erwähnt: Die Methode mit der Teleskopsumme aus dem Kommentar oben ist viel direkter.

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Das genügt noch nicht. Du hast einen Vorzeichenfehler im Nenner nach dem zweiten Gleichheitszeichen.

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Ich hatte da fälschlicherweise quadriert. Aber wie gesagt: Nimm die Lösung mit der Teleskopsumme.

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Das mit der Teleskopsumme ist mir aber nicht ganz klar. Kann das jemand erläutern?

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Eine Aufgabe mit einer ausführlichen Lösung einer Teleskopsumme findest du hier. https://www.mathelounge.de/55675/berechnung-mit-identitat-logarithmus-und-produkt-von-k-bis

Du musst  einfach explizit alle Summanden hinschreiben, bis du siehst, was passiert.

Summe = (√0 - √ 1) + (√1 - √2) + (√2 - √3) + (√3 - √4) + (√4 -               ...... - √n)

= (√0) +( - √ 1 + √1) +( - √2 + √2) + ( - √3 + √3) + ( - √4 + √4) -               ...... - √n

= -√n