Aufleiten von Exponentialfunktion/ Partielle Integration?

Question

Aufgabe:

hab folgende Funktion gegeben

f(x)=(10x+50)e^0.2x

Problem/Ansatz:

Wollte die Stammfunktion mithilfe der Partiellen Integration bilden komme aber nicht weiter bzw. finde keine brauchbare Anleitung für die partielle Integration.

∫(10x+50)e^0.2x dx=(10x+50)5e^0.2x -∫10*5e^0.2x dx

u=(10x+50)

v'=e^0.2x

Answer 1

Aloha :)

Die partielle Integration folgt aus der Produktregel:$$(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$$$$u\cdot v'=(u\cdot v)'-u'\cdot v$$$$\int u\cdot v'\,dx=\int(u\cdot v)'\,dx-\int u'\cdot v\,dx$$$$\int u\cdot v'\,dx=u\cdot v-\int u'\cdot v\,dx$$Damit kannst du das gegebene Integral bestimmen:$$\int\underbrace{(10x+50)}_{=u}\cdot\underbrace{e^{x/5}}_{=v'}dx=\underbrace{(10x+50)}_{=u}\cdot\underbrace{5e^{x/5}}_{=v}-\int\underbrace{10}_{=u'}\cdot\underbrace{5e^{x/5}}_{=v} dx$$$$=5(10x+50)e^{x/5}-10\cdot25e^{x/5}=50x\,e^{x/5}$$Am Ende bitte nicht vergessen, dass du noch eine beliebige Konstante addieren kannst ;)

Comments

Hallo,

vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Hätte, aber noch zwei kleine Fragen

Hast ja zum einen e^x/5  ist ja wahrscheinlich dieses 1/0.2 das beim Aufleiten der Exponentialfunktion entsteht oder?

Und wie bist Du auf die 25 gekommen ?

Den Rest habe ich soweit nachvollziehen können.

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Genau, ich habe \(0,2x\) durch \(\frac{x}{5}\) ersetzt.

Sorry für die 25, ich habe offenbar einen Rechenschritt ausgelassen, der zum Verständnis nötig war:$$\int10\cdot5e^{x/5}dx=10\cdot5\cdot\int e^{x/5}dx=10\cdot5\cdot5e^{x/5}=10\cdot25e^{x/5}$$Das Integral von \(e^{x/5}\) ist \(5e^{x/5}\).