Größte momentane Änderungsrate

Question

Hallo,

da die Schulen jetzt geschlossen sind und wir jetzt "Coronaferien" haben, haben wir per Mail Aufgaben bekommen. Ich gehe aktuell in die Q1 (also vorletztes Schuljahr vorm Abi) und wollte fragen, ob ich den Begriff "Rand" bezogen auf Mathe wissen muss? Meiner Meinung nach ist das noch ein zukünftiger Begriff, der mir irgendwann noch (vorm Abi aber) begegnen wird. Unsere Lehrerin hat uns als Übungsaufgaben die Abiprüfung aus dem Jahr 2015 geschickt. Und dort lautet eine Aufgabe wie folgt:

"Während der ersten drei Tage (für 0 < t < 3) wird im Modell des Schülers die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen durch die Funktion r₁ mit der Gleichung r₁(t) = 300 * e^{0,6 * t} beschrieben. Dabei wird r₁(t) als Maßzahl zur Einheit 1 Tier pro Tag aufgefasst.Ermitteln Sie die größte momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung in den ersten drei Tagen."Und in der Lösung steht:"Gesucht ist das Maximum von r₁(t) im Intervall. Wegen der Monotonie von r₁ (Ableitung ist überall positiv) liegt das Maximum am Rand, und zwar am rechten (r₁ nimmt streng monoton zu).r1,max=r1(3)=300⋅e0,6 ⋅ 3=300⋅e1,8≈1814,9"
So, die Frage, die ich mir jetzt stelle, ist, was dieser "Rand" bedeutet. Muss ich diesen Begriff kennen? Ist er relevant für mich oder noch nicht (daher auch die Erklärung oben, dass ich in der Q1 bin).

Comments

Die Randwerte sind hier 0 und 3, also das untere und obere Ende des gegebenen Intervalls. 

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Deine Aufgabe ist nicht eindeutig gestellt.

mal suchst den maximalwert der Funktion
mal den maximalwert der Änderungsfunktion

Answer 1

was dieser "Rand" bedeutet

Der Rand besteht aus den zwei Zeitpunkten t = 0 und t = 3.

Ist er relevant für mich

Ja.

Es geht darum, dass du ein globales Maximum einer Funktion bestimmen sollst. Es gibt zwei Möglichkeiten, wo dieses Maximum liegen kann

1. Bei einem lokalen Maximum im inneren des Definitionsbereiches
   
2. Am Rand des Definitionsbereiches.
   

Ersteres erwischst du indem die Nullstellen der Ableitung untersuchst.

Zweiteres erwischst du indem du die Randpunkte in die Funktion einsetzt.

Dort wo du den größten Wert bekommst, ist das globale Maximum.

Comments

Achso, jetzt verstehe ich es so halbwegs. Jedoch nicht auf meine Aufgabe bezogen:

1. Bei mir ist ein Definitionsbereich angegeben. Hier müsste ich die erste Abl. gleich 0 setzen. Die 1. Abl. ist 180*(1,82)^t und die kann ich laut TR nicht 0 setzen (false)

2. Habe hier keine Randpuknte, also kann es ja nur der erste Schritt sein

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und die kann ich laut TR nicht 0 setzen (false)

Ergebnis des Nullsetzens ist eine Gleichung, in deinem Fall die Gleichung

        180·e^0,6t = 0.

Diese Gleichung sollte auf jeden Fall hingeschrieben werden. Machst du das in der Klausur nicht, dann gibt es keine Punkte.

Bitte erzähle nicht, dass du nicht Nullsetzen kannst. Was du meinst ist, dass die Gleichung laut TR keine Lösung hat. Und das ist richtig so; die Gleichung hat tatsächlich keine Lösung.

Schlussfolgerung ist, dass es im Inneren des Definitionsbereichs kein Maximum gibt.

Die 1. Abl. ist 180*(1,82)^t.

Exponentialfunktionen sind sehr empfindlich gegenüber Rundung des Wachstumsfaktors. Runde den Wachstumsfaktor nicht, oder auf wesentich mehr Dezimalstellen.

Habe hier keine Randpuknte

Doch, 0 und 3 wegen "Während der ersten drei Tage (für 0 < t < 3)".

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Ok, soll ich jetzt die Randwerte einsetzen oder sagen, dass es im Inneren des Definitionsbereichs kein Maximum gibt?
(Angenommen, ich müsste die Randwerte einsetzen. Müsste ich dann nur 0 und 3 einsetzen oder alle Zahlen dazwischen im 0,5 Schritt also: 0, 0.5, 1, 1.5, etc.)

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Ok, soll ich jetzt die Randwerte einsetzen oder sagen, dass es im Inneren des Definitionsbereichs kein Maximum gibt?

Beides.

Müsste ich dann nur 0 und 3 einsetzen

Ja.

oder alle Zahlen dazwischen im 0,5 Schritt also: 0, 0.5, 1, 1.5, etc.

Die Zahlen zwischen 0 und 3 hast du schon mit der Ableitung erschlagen. Du brauchst dich um die also nicht mehr zu kümmern.

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Vielen Dank für die Antwort und die ganzen Kommentare!