Warum ist der Grenzwert bei x-> 0 von (1+x)^(1/x) gleich die eulersche Zahl?

Question

Aufgabe:

\( \lim\limits_{x\to0} \)   \( (1+x)^{1/x} \) = e

Problem/Ansatz:

Ich habe zuerst versucht nach L'hosipital den Term abzuleiten. Weiß dann nicht mehr weiter

Answer 1

Ersetze x durch 1/n mit n∈ℕ.

Dann hast du

$$ \lim\limits_{x\to0}  (1+x)^{1/x} =\lim\limits_{n\to\infty}  (1+1/n)^{n}= e$$

Comments

Ist es jetzt richtig L'Hospital anzuwenden?
Hab dann: \( \frac{1}{n} \) ( 1 + \( \frac{1}{n} \) )\(^{n-1} \)

Kannst du mir einen Tipp geben?

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Ich glaube du solltest nochmals L'Hospital sowie die Ableitungsregeln nachschlagen.

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Ich habe mich auf die Definition

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl#Definition

gestützt.

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Ersetze x durch 1/n mit n∈ℕ.

Unsinnsmethode !

Dann wäre ja auch    lim_x→0 sin(π/x)  =  lim_n→∞ sin(n·π)  =  0

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Es ging doch wohl nur um den Wert.

Dass der Grenzwert existiert,  galt als vorausgesetzt.

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n∈ℝ tuts besser.

Answer 2

lim (x → 0) (1 + x)^(1/x)

= lim (x → 0) EXP(LN((1 + x)^(1/x)))

= lim (x → 0) EXP((1/x) * LN(1 + x))

Kümmer dich zunächst nur um den Grenzwert des Exponenten

lim (x → 0) (1/x) * LN(1 + x)

= lim (x → 0) LN(1 + x) / x

L'Hospital wegen 0 / 0

= lim (x → 0) 1/(1 + x) / 1

= lim (x → 0) 1/(1 + x) = 1/(1 + 0) = 1

Da wir jetzt wissen das der Exponent gegen 1 geht können wir auch die Potenz bestimmen

lim (x → 0) EXP((1/x) * LN(1 + x))

= lim (x → 0) EXP(1) = e

Answer 3

Aloha :)$$e=e^1=e^{x/x}=\left(e^x\right)^{1/x}\quad;\quad x>0$$Für \(x\to0\) konvergiert \(e^x\to1+x\), daher gilt:$$e=\lim\limits_{x\to0}\left(e^x\right)^{1/x}=\lim\limits_{x\to0}\left(1+x\right)^{1/x}$$