ich bearbeite gerade diese Aufgabe und habe die erste Aufgabe jetzt geschafft (genauer gesagt den ersten Teil für "U" bei der Parameterdarstellung) und wollte fragen, ob ich bis jetzt so richtig vorgegangen bin.
Im \( \mathbb{R} \) -Vektorraum \( \mathbb{R}^{4} \) seien die beiden Teilmengen
$$ U=\left\{x \in \mathbb{R}^{4} | x_{1}+x_{2}-x_{4}=0 \text { und } x_{2}-x_{3}-x_{4}=0\right\} $$
und
$$ W=\left\{x \in \mathbb{R}^{4} | x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \text { und } x_{1}+2 x_{3}+2 x_{4}=0\right\} $$
gegeben.
a) Man begründe, warum \( U \) und \( W \) Untervektorräume von \( \mathbb{R}^{4} \) sind, und gebe die in \( U \) bzw. \( W \) enthaltenen Vektoren (mit Hilfe von Parameterdarstellungen) explizit an.
Habe zuerst zwei Geraden aufgestellt:
$$g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\1 \end{pmatrix}+a\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\1 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\2 \end{pmatrix}$$
$$d:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\1\\1\\0 \end{pmatrix}+a\begin{pmatrix} 0\\0\\-1\\1 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\1 \end{pmatrix}$$
Habe dann ein LGS aufgestellt:
\( \left(\begin{array}{cccc|c}0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 & 1 & -1\end{array}\right) \)
und letzendlich diese Gerade erhalten:
$$U=\begin{pmatrix} 2\\-1\\1\\0 \end{pmatrix}+a\begin{pmatrix} -1\\0\\0\\1 \end{pmatrix}$$
Stimmt diese Herangehensweise so? Bzw. habe ich irgendetwas falsch gemacht, weil ich ja im R^4 bin?
MfG
Pizzaboss
