Senkrechte Strecken im Quader

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass in einem Quader mit quadratischer Grundfläche die Grundflächendiagonale j und die Raumdiagonale k senkrecht zu einanderstehen

Problem/Ansatz:

mein Ansatz wäre:

j=a-b

K=a+b+c

K×j=0

(a+b+c)×(a-b)=0

a^2+ac-b^2-bc=0

Wie mache ich jetzt weiter?

Comments

Was sollen die Variablen darstellen?

Mach doch bitte mal eine Zeichnung - und zeichne auch den rechten Winkel ein....

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Es gibt keine Zeichnung zur Aufgabe. Aber wenn man sich vorstellt wie ein quader aussieht dann ist a die x achse , b die y-Achse und c die z-Achse

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Deswegen sollst Du ja eine machen. Mich würde besonders die Lage des rechten Winles interessieren...

Answer 1

Hallo,

das sieht wohl so aus.

$$(a+b+c) \cdot (a-b)=0 \\ a^2+ac-b^2-bc=0$$ Wie mache ich jetzt weiter?

ganz einfach - da \(a\), \(b\) und \(c\) paarweise senkrecht auf einander stehen, ist \(ac=0\) und \(bc=0\). Weiter gilt \(|a|=|b|\) daraus folgt $$a^2 = b^2 \implies a^2 - b^2 = 0$$Gruß Werner

Comments

Danke schonmal für deine Antwort.

Aber kannst du mir, dass mit a,b,c stehen paarweise senkrecht aufeinander?

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Aber kannst du mir erklären, dass mit a,b,c stehen paarweise senkrecht aufeinander?

Ich habe dem Bild oben die drei Vektoren \(a\), \(b\) und \(c\) hinzu gefügt:

'paarweise senkrecht' heißt, dass \(a\) senkrecht auf \(b\) steht und \(b\) senkrecht auf  \(c\) und \(c\) senkrecht auf \(a\). In einem Quader stehen alle nicht parallelen Seiten senkrecht zu einander. 'paarweise' bedeutet, dass man aus den drei Vektoren zwei entnimmt, und diese beiden stehen senkrecht auf einander. Das gilt für jedes Paar.

Und da das Skalarprodukt zweier senkrecht zu einander stehnder Vektoren \(=0\) ist, komme ich dann zu obiger Vereinfachung des Terms.

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Wow ok super danke!

Ich verstehe noch nicht ganz das mit den Beträgen.

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Ich verstehe noch nicht ganz das mit den Beträgen.

Der Betrag eines Vektors entspricht seiner Länge. Da in diesem Quader die Grundfläche - also die Fläche, die von \(a\) und \(b\) aufgespannt wird - quadratisch sein soll, sind die Längen von \(a\) und \(b\) gleich. Die Länge von \(a\) ist der Betrag \(|a|\).

Bildet man das Skalarprodukt \(s\) zweier Vektoren \(u\) und \(v\), so kann man dafür auch schreiben$$s = u\cdot v = |u| \cdot |v| \cdot \cos \alpha$$wobei \(\alpha\) der Winkel zwischend den Vektoren ist. Ist \(u=v\), dann ist \(\alpha=0\) und \(\cos 0 = 1\). Daraus folgt$$u^2 = u \cdot u = |u| \cdot |u| \cdot 1= |u|^2$$

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Ich weiß ich nerve aber ich merke, dass du Ahnung hast wovon du redest

Aber wieso ist alpha=0

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Aber wieso ist alpha=0 ?

Nee Du nervst nicht. Es ist interessant, was Du nicht(!) weißt. Hast Du eine Vorstellung davon, was ein Vektor ist? Das kannst Du Dir vorstellen, wie so'n Pfeil - von Pfeil und Bogen.

Und wenn Du nun zweimal den gleichen Pfeil hast, die Du beide dicht nebeneinander legst, wie groß ist dann der Winkel zwischen den beiden Pfeilen?

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Ok macht Sinn aber wieso ist cos 0=1?

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Ich habe Dir eine kleines Applet gebastelt. Der blaue Kreis soll der Einheitskreis sein. Also ein Kreis mit Radius 1. Mit dem Punkt \(X\) kannst Du den Winkel \(\angle 1OX\) einstellen. Das ist der Winkel zwischen der schwarzen Strich-Punkt-Geraden, die nach rechts verläuft und der kleinen blauen Strecke im Kreis.

Der Cosinus dieses Winkels ist definitionsgemäß die rote Strecke (die Projektion von \(OX\) auf die Horizontale) und der Sinus ist die gelbe Strecke. Zeigen die Strecken nach rechts (bzw. oben) sind sie positiv, zeigen sie nach links (bzw. unten), sind sie negativ.

Ziehe den Punkt \(X\) auf \(0°\) - also auf den Punkt \(1\) - und entscheide selbst, welchen Wert der Cosinus, bzw. die rote Strecke dann hat.

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/hrLc80w9/8/

Answer 2

Es gibt zwei Grundflächendiagonalen und 4 mögliche Raumdiagonalen. Nicht jede Grundflächendiagonale steht senkrecht auf jeder Raumdiagonalen.

Also ist die zu beweisende Aussage (ohne weitere Spezifizierungen) falsch.