Zahl rechnerisch zerlegen (quadratische Funktion)

Question

Aufgabe:

Die Zahl 100 ist so in zwei Summanden zerlegt worden, dass ihr Produkt möglichst groß wurde. Bestimme die Zahl rechnerisch.

Problem/Ansatz:

Dadurch, dass wir nun wochenlang keinen Unterricht haben, sollen wir uns einige Themen selbst beibringen. Das ganze wird wie eine Klausur gewertet und muss deswegen, so gut es geht, fehlerfrei sein. Durch den mangelnden Unterricht habe ich das Thema allerdings kaum verstanden und kann diese Aufgabe deshalb kaum lösen... Hilfe wäre nett. :)

Answer 1

Die Zahl 100 ist so in zwei Summanden zerlegt worden,

Geben wir ihnen mal die Namen x und y.

Also gilt x+y=100 .

dass ihr Produkt

das wäre dann als x*y

möglichst groß wurde.

Wandle doch einfach mal x+y=100 um in y=100-x.

Wenn x*y maximal werden soll, muss also

x(100-x) maximal werden.

Bekommst du es hin, das dafür erforderliche x zu bestimmen?

Answer 2

Die Zahl 100 ist so in zwei Summanden zerlegt worden

Die Summanden nenne ich x und z. Dann ist

(1)        x + z = 100.

dass ihr Produkt möglichst groß wurde.

Das Produkt nenne ich y. Dann ist

(2)        y = x·z

Formt man (1) nach z um, dann bekommt man

(3)        z = 100 - x.

Einsetzen von (3) in (2) liefert

(4)        y = x·(100 - x).

Das kann man als Funktionsgleichung

(5)        f(x) = x·(100 - x)

schreiben. Bestimme den Scheitelpunkt dieser Funktion. Begründe, warum am Scheitelpunkt das Produkt möglichst groß ist (und nicht möglichst klein).