Extremwertprobleme Strecke

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen f und h mit folgenden Funktionstermen:

f (x) = x² - 5 und h (x) = -x² + 4x + 3.

Die Gerade g : x = u schneidet die von beiden Kurven eingeschlossene Fläche.

Für welches u ist die Strecke am längsten?

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keinen Ansatz für die Zielfunktion:/

Answer 1

Zeichne die Graphen von f und h.

Zeichne ein Beispiel für die Gerade g ein.

Die Zielfunktion springt dann eigentlich sofort ins Auge.

Comments

Habe ich bereits, muss ich vlt irgendwas mit den Y-Werten anfangen?

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Ich habe jetzt für beide Funktionsterme u eingesetzt und voneinander abgezogen. Dann habe ich die Ableitung aufgestellt und die Extremstelle berechnet. Als Ergebnis habe ich 1 erhalten aber die Lödung ist 10

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Ich habe jetzt für beide Funktionsterme u eingesetzt und voneinander abgezogen.

Glückwunsch, das ist die Zielfunktion.

Als Ergebnis habe ich 1 erhalten

Auch das ist richtig.

aber die Lödung ist 10

Nein, das ist sie nicht. Die Lösung ist, wie du berechnet hast, 1.

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... aber die Lösung ist 10

kann nicht sein, da sich der Wet 10 außerhalb desd Definitionsbereichs befindet

Die Gerade g : x = u schneidet die von beiden Kurven eingeschlossene Fläche.

und damit liegt die Lösung eher im Bereich $(-2;\, +4)$

Hast Du die Funktionen richtig abgeschrieben?

Answer 2

Hallo,

Die Strecke, die die vertikale Differenz der beiden Funktionen angibt, ist dort am längsten, wo beide Funktionen die gleiche Steigung haben.

Plotlux öffnen

f₁(x) = x²-5f₂(x) = -x²+4x+3Zoom: x(-5…7) y(-7…8)x = 1f₃(x) = 2(x-1)+6f₄(x) = 2(x-1)-4

Verschiebt man die grüne Senkrechte innerhalb der parallelen Tangenten, so ist der Ausschnitt an der gezeichneten Stelle offensichtlich am größten.

Leite beide Funktionen nach $x$ ab, und setze die Ableitungen gleich, dann bekommst Du die nummerische Lösung.