Analysis 1 - Beweisführung

Question

ich bin mir bei folgender Aufgabe etwas unsicher und würde mich sehr über Hilfe freuen:

$$\text{ Gegeben ist eine Funktion } f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \text{ , die zweimal stetig differenzierter sei. Des Weiteren sei  } a \in  \mathbb{R} \text { mit } f'(x_{0}) = 0 \text{ und } f''(x_{0}) \gt 0. \text{ Beweisen Sie, dass } x_{0} \text{ ein lokales Minimum von } f \text{ ist: } $$

$$1. \text{ Begründen Sie, dass ein Intervall } \left[a; b\right] \text{ existiert, so dass } f''(x_{0}) > 0 \text{ für alle } x \in \left[a; b\right] \text{. }$$

$$2. \text{ Beweisen Sie, dass  } \lim\limits_{h\to0} \frac{f'(x_{0}+h)}{h} > 0.$$

$$3. \text{ Geben Sie eine Begründung an, weswegen } f'(x_{0}+h) > 0 \text{ bei } h > 0 \text{ und } f'(x_{0}+h) < 0 \text{ bei } h < 0 \text{ ist.  }$$

$$4. \text{ Gegeben seien } α  \in \left(a; x_{0}\right) \text{ und } β \in \left(x_{0}, b\right).$$

$$ \text{ Zeigen Sie mit der Anwendung des Mittelwertsatzes, dass } f(x_{0})\leq f(α) \text{ und } f(x_{0})\leq f(β).$$

$$5. \text{ Begründen Sie nun mithilfe der vorhergegangenen Schritte, dass } f(x_{0}) \text{ ein lokales Minimum von } f \text{ ist. }$$

Bei der Aufgabe 1 habe ich folgendes geschrieben: $$\text{ Es gibt ein Intervall } \left[a; b\right] \text{, da die Funktion zweimal stetig differenzierbar und daher ein Intervall bei } x_{0} \text{ definiert ist. }$$ Ist das eine ausreichende Begründung?

Und auch bei den nächsten Aufgaben würde ich mich sehr über eine Korrektur freuen:

Meine Überlegung bei Aufgabe 2 war, den Limes zu vereinfachen, da ich ja letztlich zeigen muss, dass er > 0 ist. Dementsprechend habe ich mir gedacht, dass der Zähler bei dem Limes h gegen 0 größer als 0 sein muss, da ich mir hier einen Punkt ansehe, der "vor" meinem lokalen Minimum x0 liegt, und dort die Ableitung größer als null sein muss. Aber wie kann ich das beweisen?

Meine Lösung zur Aufgabe 3 ist folgende: $$\text{ Die Ableitung von } f'(x_{0}+h) \text{ für } h>0 \text{ ist größer als } 0 \text{, da dabei die Sekante bei einem lokalen Minimum eine positive Ableitung aufweist, während bei } h<0 \text{ eine negative Ableitung erkennbar ist. Das liegt an der Lage des Extrempunktes:}$$

$$\text{ Bei einem lokalen Minimum wird deutlich, dass die Punkte "vor" und "hinter" diesem Extrempunkt höher liegen, und dementsprechend die Ableitung der Punkte vor dem Extrempunkt eine negative Ableitung haben, die Punkte hinter diesem Extrempuntk eine positive.  }$$

Bei Aufgabe 4 und 5 weiß ich leider nicht wirklich, wie die Beweisführung aussehen muss.

Ich würde mich sehr über ein paar Hinweise freuen.

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Es gibt ein Intervall \([a;b]\), da die Funktion zweimal stetig differenzierbar und daher ein Intervall bei \(x_0\) definiert ist.

Ein Intervall ist nicht definiert. Zumindest wurde weder in der Aufgabenstellung ein Intervall definiert, noch in deiner Lösung.

Außerdem liegt ein Intervall nicht bei einer Zahl, sondern um eine Zahl herum.

Du musst die zu beweisende Aussage auf Sätze und Definitionen zurückführen. Du hast zweimal stetig differenzierbar erwähnt. Wie genau folgt daraus die Existenz des geforderten Intervalls?

Du schreibst, die Funktion sei zweimal stetig differenzierbar. Welche Funktion meinst du? In der Aufgabenstellung kommen drei Funktionen vor: \(f\), \(f'\) und \(f''\).

Übrigens, vielleicht kommst du mit der Formulierung "Ein solches Intervall existiert, weil \(f''(x_0) > 0\) ist und \(f''\) stetig ist." durch. Das heißt natürlich nicht, dass du diese Formulierung verwenden sollst. Stattdessen solltest du die Definition der Stetigkeit anwenden, unter Berücksichtigung von \(f''(x_0) > 0\).

2. Beweisen Sie, dass \(\lim_{h\to 0}\frac{f'\left(x_0+h\right)}{h} > 0\).

Verwende \(0 < f''\left(x_0\right) = \lim_{h\to 0}\frac{f'\left(x_0+h\right)-f'\left(x_0\right)}{h}\) und eine der Voraussetzungen der Aufgabenstellung.

dass der Zähler bei dem Limes h gegen 0 größer als 0 sein muss

Muss er nicht. Beispiel: f(x) = x², x₀ = 0, h = -1. Dann ist f'(x₀+h) = f'(-1) = -2.

da ich mir hier einen Punkt ansehe, der "vor" meinem lokalen Minimum x0 liegt

Das solltest du nicht. Du solltest dir eine ganze Umgebung um \(x_0\) anschauen. Dazu gehören sowohl Punkte links von \(x_0\), als auch Punkte rechts von \(x_0\).

da dabei die Sekante

Welche Sekante?

bei einem lokalen Minimum eine positive Ableitung aufweist

Du verwendest hier, dass bei \(x_0\) ein lokales Minimum vorliegt. Das darfst du nicht verwenden, weil du es beweisen sollst.

3. Geben Sie eine Begründung an, weswegen \(f'(x_{0}+h) > 0\) bei \(h > 0\)  und \(f'(x_{0}+h) < 0\) bei \(h < 0\) ist.

Das folgt ziemlich direkt aus 2.

Comments

Zur 1: Mit „der Funktion“ meinte ich die Funktion f.

Zur 2: Ich habe mich leider vertippt - der Grenzwert von h gegen null sollte von der Ableitung von x0 und h berechnet werden, nicht von der Funktion. Wie kann ich das dann beweisen?

Könntest du mir eventuell noch einen Hinweis zur 4 geben?

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Kann es sein, dass der Apostroph bei der Ableitung der Funktion bei Aufgabe 2) sowohl in dem Zitat als auch in deiner Antwort nicht mehr zu sehen ist, aber dort stehen sollte?

Ich meine, dass die zweite Ableitung ja auch nichts anderes als die Anleitung der ersten Ableitung sein müsste, und diese ist ja wiederum als der Limes von h gegen null von (f(x0+h)-f(x0))/h definiert, so dass die zweite Ableitung einfach die Ableitung dessen sein müsste.

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Zur 1: Mit „der Funktion“ meinte ich die Funktion f.

Das weiß ich doch. Ein böswilliger Korrektor wird aber so tun als ob er das nicht wüsste. Die Objekte, mit denen man Mathematik betreibt, haben Namen damit man sie auseinanderhalten kann und der Leser nicht auf Spekulationen, um welches Objekt es sich gerade handelt, angewiesen ist. Dazu müssen die Namen aber auch verwendet werden.

Zur 2: Ich habe mich leider vertippt

Nein, das hast du nicht. Ich habe mich vertippt (aber mittlerweile korrigiert).

der Grenzwert von h gegen null

\(\lim_{h\to 0}\) ist der Grenzwert für h gegen Null.

\(\lim_{x\to 3} x^2\) ist der Grenzwert von x² für h gegen 3.

Wie kann ich das dann beweisen?

Ist dir meine (Un)gleichung klar? Vergleiche auch mal die Terme

        \(\lim_{h\to 0}\frac{f'\left(x_0+h\right)-f'\left(x_0\right)}{h}\)

und

        \(\lim_{h\to 0}\frac{f'\left(x_0+h\right)}{h}\).

Kann es sein, dass der Apostroph bei der Ableitung der Funktion bei Aufgabe 2) sowohl in dem Zitat als auch in deiner Antwort nicht mehr zu sehen ist, aber dort stehen sollte?

Ja. Der Grund warum es nicht zu sehen ist, ist, dass ich es irtümicherweise ausgelassen habe. Ich habe es mittlerweile korrigiert.

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Vielen Dank für die Korrektur, so ist das dann natürlich sehr einfach zu beweisen. Bei der Frage, wie ich das dann beweisen könne, bin ich nur davon ausgegangen, dass lediglich die Funktion von x0 abgeleitet wird, dann hätte der Beweis so ja nicht funktionieren können. Könntest du mir eventuell noch bei der vierten Aufgabe einen Hinweis geben?

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Ich habe jetzt bei der Aufgabe 4 noch einmal überlegt.

Der Mittelwertsatz lautet ja $$f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$; graphisch zeigt er also letztlich, dass die Ableitung von x genau dasselbe ist wie eine Sekante, die durch die Punkte a und b geht.

Wenn ich nun x0 für a und alpha für b einsetze, ergibt das $$f'(x) = \frac{f(x0)-f(alpha)}{x0-alpha}$$. Da f'(x0) laut Aufgabenstellung null ist, kann ich das auch als $$0 = \frac{f(x0)-f(alpha)}{x0-alpha}$$ schreiben. Allerdings zeigt das nach Äquivalenzumformungen, dass f(x0)-f(alpha) = 0 sind, das heißt, f(alpha) muss dasselbe sein wie f(x0). Aber ich sollte ja beweisen, dass f(alpha) >_ f(x0) ist...

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bin ich nur davon ausgegangen, dass lediglich die Funktion von x0 abgeleitet wird

Ich weiß nicht, was du damit meinst.

Angenommen du hast eine Funktion

        f(x) = 5x³ - 7x²

und du möchtest f'(x₀ + h) berechnen. Das macht man indem man zunächst f ableitet:

        f'(x) = 15x² - 14x

und dann x₀ + h einsetzt:

        f'(x₀ + h) = 15(x₀ + h)² - 14(x₀ + h).

Der Mittelwertsatz lautet ja

\(f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

Es ist nicht ratsam, mathematische Sätze auf solche Formeln zu verkürzen. Du solltest auf jeden Fall die Quantoren (∀, ∃) mitnehmen. Der Mittelwertsatz besagt:

        Es gibt im Intervall \((a, b)\) ein \(x_1\),
        so dass \(f'(x_1) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) ist.

Vor Anwendung dieses Satzes müssen natürlich noch die Voraussetzungen geprüft werden. Für den Mittelwertsatz lauten diese, dass \(f\) auf \([a,b]\) stetig und auf \((a, b)\) differenzierbar ist.

Wendet man diesen Satz für Punkt 4. an, dann bekommt man

        Es gibt im Intervall \((\alpha, x_0)\) ein \(x_1\),
        so dass \(f'(x_1) = \frac{f(x_0)-f(\alpha)}{x_0-\alpha}\) ist.

Mit diesem \(x_1\) gilt dann

(1)        \(f'(x_1)\cdot \left(x_0-\alpha\right) = f(x_0)-f(\alpha)\).

Nun gilt

• Wegen \(\alpha < x_0\) ist

  (2)        \(x_0-\alpha > 0\)

• Wegen \(x_1 \in (\alpha, x_0) \) ist \(x_1 < x_0\) und somit \(x_1 = x_0 + h\) für ein geeignetes \(h<0\). Laut Punkt 3. ist dann

  (3)        \(f'(x_1) = f'(x_0+h) < 0\)

Wegen (2) und (3) ist

(4)        \(f'(x_1)\cdot\left(x_0-\alpha\right) < 0\)

Wegen (1) und (4) ist auch

        \(f(x_0)-f(\alpha) < 0\)

also

        \(f(x_0) < f(\alpha)\).