Beweisführung zur Anaylsisaufgabe. Stetige Funktion mit f(x0)>0. Beh. Es gibt eine offen Umgebung von x0 mit f(x)>0.

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig und \( f\left(x_{0}\right)>0 \) in einem Punkt \( x_{0} \in \mathbb{R} \). Zeigen Sie, dass dann \( a, b \in \mathbb{R} \) existieren mit \( a<x_{0}<b \), so dass \( f(x)>0 \) für alle \( x \) im Intervall \( (a, b) \).

Answer 1

f stetig bei xo heißt:
Für jedes eps>0 gibt es ein delta>o mit f(x) in U_eps( f(x0)) für alle x aus U_delta(xo).
Da f(xo) > 0 etwa f(xo)= c  sind in der  Umgebung um c mit Radius c/2 nur positive Zahlen.
denn c>0  hat zur Folge  0,5c> 0  und   1,5c > 0.
Also gibt es ein delta mit   f(x) aus ]0,5c;1,5c[     für alle x aus U_delta(xo).
Dann sind a=xo - delta und b= xo + delta mögliche Werte, die
die gesuchte Bedingung erfüllen.