Topologie - eine Umgebung von a

Question

Ich habe zum Thema Topologie folgende Frage.

Man hat die Menge X:={0,1,2,3,4,5,6}. Ich wähle nun ε=1 und a=2. Lässt sich dann eine offene 1-Umgebung um 2 dann so schreiben?:

$$ U_1(2)=\{a \in X:d(2,a)<1\}=]1,3[ $$

Comments

Wo sind wir hier? In einem metrischen Raum? Welchem?

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Sorry vergessen zu erwähnen. Ich befinde mich in einem metrischen Raum.

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Davon gibt es viele.

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Was meinst du denn? Ich verstehe nicht was du meinst. Für mich ist dieses Thema verdammt abstrakt und sehr schwer zu verstehen. Ich bin im Rahmen von Topologie in metrischen Räumen einfach mal auf dieses Beispiel selber gekommen. Nur bin ich mir halt nicht sicher, ob ich die 1- Umgebung von 2 so schreiben kann...

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Ein metrischer Raum besteht aus einer Menge M und einer auf M×M erklaerten Metrik d. Was ist die Menge M, was ist die Metrik d? Soll X der Raum M sein? Und d die "natuerliche" Metrik?

Dann ist \(U_1(2)=\{a\in X: d(2,a)<1\}=\{2\}\).

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Ja, die Defintion der Metrik kenn ich auch. Aber waum sind diese Fragen aufeinmal so wichtig?

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Es gibt nicht die Metrik. Jede Abbildung von M×M nach ℝ, die die drei Axiome für eine Metrik erfuellt, ist eine.

M kann eine ganz beliebige Menge sein, keinerlei algebraische Struktur wird gefordert. insbesondere wird i.Allg. d(x,y) := |x-y| keinerlei Sinn ergeben.

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i.Allg. d(x,y) := |x-y|

Aber hier schon??

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Das ist doch Deine Sache, was Du als Metrik nimmst, wenn Du selber Beispiele bastelst. d(x,y) = |x-y| ist in diesem Beispiel moeglich, aber nicht zwingend. Man koennte in Anlehnung an die franzoesische Eisenbahn auch z.B. d(x,y) = |x-3| + |y-3| probieren -- oder was ganz anderes.

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Ok. Also angenommen ich hätte folgende Abbildung mit der Menge X gegeben:

$$ X=\{0,1,2,3,4,5,6\}\\ d:X × X \rightarrow X, (x,y) \mapsto |x-y|=:d(x,y) $$

Sei nun x=2 mit ε=1. Dann wäre doch folgender Versuch eine offene 1-Umgebung mit

$$ U_1(2)=\{a \in X:d(2,a)<1\}=]1,3[ $$ zu bekommen nicht möglich, weil es keine hier keine Zahlen außer 0,1,2,3,4,5,6 gibt oder?

Stattdessen würde es also doch dann so lauten:

$$ U_1(2)=\{a \in X:d(2,a)<1\}=\{2\}$$, da die 2 als einzige Zahl aus der Menge X die Bedingung erfüllt.

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In Deinem Beispiel ist jede 1-Umgebung eines Punktes die Menge mit gerade diesem Punkt selber. Daraus folgt, dass alle Mengen offen sind, denn mit einem Punkt haben sie auch die 1-Umgebung dieses Punktes als Teilmenge. Dann sind aber auch alle Mengen abgeschlossen, denn ihr Komplement ist ja offen. Randpunkte kommen bei keiner einzigen Menge vor. Das ist es, was Du da gebastelt hast: https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Topologie

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Schön und gut, aber wenn ich das so lese, verstehe ich grad mal 5%(mal so dahergesagt). Ehrlich gesagt finde ich zu diesem Thema keinen richtigen Zugang, außer dass einem 10000 oder noch mehr von Definitionen in Rekordzeit um die Ohren fliegen... . Für mich ist dieses Gebiet nicht händelbar, bzw. war es bisher. Und das widerum schlägt sich auf die Bearbeitungsfähigkeit von Übungsaufgaben nieder.

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Den Wikipedia-Artikel brauchst Du auch nicht zu lesen -- es sei denn, er interessiert Dich. Hoerst Du eigentlich eine Topologie-Vorlesung oder geht es nur um die Basics für Analysis?

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Ich höre die Topologie-Vorlesung

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Gut, dann wirst Du von mir wahrscheinlich bald nichts mehr zum Thema hoeren. :)

Answer 1

\(U_1(2)=\{a \in X:d(2,a)<1\} \)

Das ist eine offene 1-Umgebung um 2, falls \(d\) die auf X definierte Metrik ist.

]1,3[

Das ist die Menge aller Elemente von X, die größer als 1 und kleiner als 3 sind. Woher nimmst du die Gewissheit, dass auf X eine kleiner-Relation definiert ist? Woher nimmst du die Gewissheit, dass eine eventuell bestehende kleiner-Relation verträglich mit der Metrik \(d\) ist?

Für mich ist dieses Thema verdammt abstrakt

Das liegt erstens daran, dass es verdammt abstrakt ist, und zweitens daran, dass Abstraktion in der Schule nicht mehr in einem ernstzunehmenden Maße  gelehrt wird.

Comments

Woher nimmst du die Gewissheit, dass auf X eine kleiner-Relation definiert ist? Woher nimmst du die Gewissheit, dass eine eventuell bestehende kleiner-Relation verträglich mit der Metrik d ist?

Wie kommst du jetzt auf diese Fragen????

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...und zweitens daran, dass Abstraktion in der Schule nicht mehr in einem ernstzunehmenden Maße  gelehrt wird.

Da hast du vollkommen Recht!

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Jede Menge kann wohlgeordnet weden (laut  Wohlordnungssatz).

Auf jeder Menge kann eine Metrik definiert werden (die sogenannte diskrete Metrik).

Auf jeder Menge kann eine Addition und Subtraktion so definiert werden, dass die für Addition und Subtraktion in den reellen Zahlen geltenden Gesetze gelten (zyklische Gruppe).

Es ist also leicht, auf der Menge X eine Ordnung, eine Abstandsfunktion und Addition/Subtraktion zu definieren. Die Frage ist dann allerdings: spielen diese drei auch so zusammen, wie man das von den reellen Zahlen gewohnt ist? Und die Antwort ist im Allgemeinen nein.

Ein Beispiel, dass du vielleicht aus der Analysis kennst: Die komplexen Zahlen kann man nicht  so anordnen, dass die Odnung verträglich mit Addition und Multiplikation ist, dass also wenn 0 ≤ a ≤ b ist, auch

        a+c ≤ b+c und 0 ≤ a·b

für jedes c gelten. Diese Regeln stellen eine Beziehung zwischen der Ordnung und der Addition bzw. zwischen der Ordnung und der Multiplikation her. In Ähnlicher Weise hast du mittels

        \(U_1(2)=\{a \in X:d(2,a)<1\} = ]1, 3[\)

eine Beziehung zwischen Abstandsfunktion und Odnung hergestellt.