Aloha :)$$f_a(x)=\frac{1}{a}x^2-4x\quad;\quad a\ne0$$Da \(a\ne0\) sein muss, kannst du das \(a\) wie eine beliebige konstante Zahl behandeln und alle Rechenschritte damit entsprechend durchführen, insbesondere kannst du unbesorgt durch \(a\) dividieren. Legen wir los...
Es gilt \(f_a(0)=\frac{1}{a}\cdot0^2-4\cdot0=0\) unabhängig von \(a\), d.h. \(f_a(x)\) läuft immer durch den Ursprung.
Zur Bestimmung der weiteren Nullstellen setzen wir \(f_a(x)=0\) und lösen nach \(x\) auf:$$\left.f_a(x)=0\quad\right|\;\text{einsetzen}$$$$\left.\frac{1}{a}x^2-4x=0\quad\right|\;\cdot a$$$$\left.x^2-4ax=0=0\quad\right|\;x\text{ ausklammern}$$$$\left.x\cdot(x-4a)=0\quad\right|\;\text{Satz vom Nullprodukt}$$$$x=0\;\lor\;x=4a$$Neben der bereits bekannten Nullstelle \((0|0)\) haben alle Scharfunktionen \(f_a(x)\) eine weitere Nullstelle bei \((4a|0)\).
Zur Bestimmung der Extrempunkte benötigen wir die Ableitungen:$$f'_a(x)=\frac{2}{a}x-4$$$$f''_a(x)=\frac{2}{a}$$Kandidaten für Extrempunkte finden wir dort, wo \(f'_a(x)=0\) wird:$$0\stackrel{!}{=}f'_a(x)=\frac{2}{a}x-4\quad\Leftrightarrow\quad\frac{2}{a}x=4\quad\Leftrightarrow\quad x=2a$$Weil die zweite Ableitung gleich \(\frac{2}{a}\) ist, entscheidet das Vorzeichen von \(a\) über die Art des Extremums. Für \(a>0\) ist auch \(f''_a(2a)>0\) und es liegt ein Minimum vor. Für \(a<0\) ist auch \(f''_a(2a)<0\) und es liegt ein Maximum vor. In jedem Fall ist der zugehörige Funktionswert$$f_a(2a)=\frac{1}{a}(2a)^2-4\cdot2a=4a-8a=-4a$$Fassen wir zusammen:
\(E(2a|-4a)\) ist Minimum, falls \(a>0\) gilt.
\(E(2a|-4a)\) ist Maximum, falls \(a<0\) gilt.
