Bestimme die reellen Lösungen der Gleichung

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe lautet:

\(\frac{2x+1}{x-1}-\frac{3x-4}{x+1}=\frac{3x+3}{x^{2}-1}\)

Problem/Ansatz:

Ich kann die Gleichung wie unterstehend vereinfachen, komme aber nicht weiter.

Ich suche den weiteren Lösungsweg und bitte um die Überprüfung meines Ansatzes.

\(\frac{(2x+1)(x+1)-(3x-4)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{3}{x-1}\)

\(\frac{2x^2+2x+1+2-(3x^2+3x-4x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3}{x-1}\)

\(\frac{2x^2+2x+1+2-3x^2-3x+4x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{3}{x-1}\)

\(\frac{-x^2+10x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{3}{x-1}\)

Comments

Wohin ist dein x² im rechten Nenner verschwunden?

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Sorry, war ein Tippfehler in der ersten Gleichung, habe ich korrigiert der rechte Nenner heisst: x^2-1

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Nach Deiner Korrektur ist x=6.

Answer 1

Aloha :)

$$\left.\frac{2x+1}{x-1}-\frac{3x-4}{x+1}=\frac{3x+3}{x^2-1}\quad\right|\;\text{links "über Kreuz" multiplizieren}$$$$\left.\frac{(2x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{(3x-4)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{3x+3}{x^2-1}\quad\right|\;\text{links Klammern ausrechnen}$$$$\left.\frac{2x^2+x+2x+1}{x^2-1}-\frac{3x^2-4x-3x+4}{x^2-1}=\frac{3x+3}{x^2-1}\quad\right|\;\cdot(x^2-1)$$$$\left.\left(2x^2+x+2x+1\right)-\left(3x^2-4x-3x+4\right)=3x+3\quad\right|\;\text{links zusammenfassen}$$$$\left.\left(2x^2+3x+1\right)-\left(3x^2-7x+4\right)=3x+3\quad\right|\;\text{links weiter zusammenfassen}$$$$\left.-x^2+10x-3=3x+3\quad\right|\;-3x-3$$$$\left.-x^2+7x-6=0\quad\right|\;\cdot(-1)$$$$\left.x^2-7x+6=0\quad\right|\;\text{Faktorzerlegung links}$$$$\left.(x-6)(x-1)=0\quad\right|\;\text{Ergebnisse ablesen}$$$$x=6\quad\lor\quad x=1$$Die Lösung \(x=1\) scheidet jedoch aus, weil die ursprüngliche Gleichung für \(x=1\) nicht definiert ist (Division durch Null). Also bleibt als einzige Lösung:$$\underline{x=6}$$

Comments

Besten Dank nach so einem ausführlichen Lösungsweg habe ich gesucht.

Answer 2

Deine Annahme im ersten Schritt, dass (3x+3)/x2 = 3/(x-1) ist unzutreffend.

Comments

Sorry, war ein Tippfehler in der ersten Gleichung, habe ich korrigiert der rechte Nenner heisst: x^2-1

Answer 3

Du hast links zwar auf den Hauptnenner erweitert, aber rechts nicht richtig.

Comments

Rechts hat er im Übergang von der ersten zur zweiten Zeile (x+1) gekürzt.

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Ich sagte "Hauptnenner".

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Ich sagte "Hauptnenner".

Den er rechts nicht braucht.