Wie lautet m, wenn die Fläche zwischen zwei Funktionen den Inhalt 72 hat?

Question

Aufgabe: „Gegeben sind die Funktionen f(x)=x^3-9x und g(x)=m•x (m>0). Für welchen Wert von m schliessen die Graphen f und g eine Fläche von Inhalt 72 ein?“

Problem/Ansatz: Hier habe ich als erstes wie gewöhnlich f(x)-g(x) gemacht. Das ergibt dann x^2-9x - m•x = x(x-9-m)....

Wie kann ich jetzt hier die Nullstellen berechnen wenn ja dieses m stört? Brauche ja die Schnittpunkte für obere und untere Grenze des Integrals...

 Gruss

Comments

Die Aufgabe enthält x³, dein Lösungsansatz stattdessen x². Was gilt denn nun?

---

Danke euch allen 3 für die Erklärung!

ps: Würde am liebsten alle als „beste Lösung machen“ geht leider nicht:(

---

Hi Roland

Sehe nun dass ich sogar einen Flüchtigkeitsfehler gemacht habe.... Danke dir!

Answer 1

d(x) = x^3 - 9·x - m·x = x·(x^2 - m - 9) = 0

x = ±√(m + 9) ∨ x = 0

D(x) = 0.25·x^4 - 0.5·x^2·(m + 9)

∫ (0 bis √(m + 9)) d(x) dx = D(√(m + 9))

0.25·√(m + 9)^4 - 0.5·√(m + 9)^2·(m + 9) = ±36 --> m = 3

Skizze

~plot~ x^3-9x;3x;[[-16|16|-12|12]] ~plot~

Answer 2

x²-9x - m•x=0

x(x-9-m)=0

Erste Lösung x=0

Zweite Lösung

x=9+m

Comments

Hi

Jetzt ich also die obere Grenze 9+m und als untere 0 nehmen..... Welche Funktion muss ich nun integrieren? x^2-9x-mx stimmts??

Gruss und Vielen Dank

Answer 3

Aloha :)

Du bist auf dem richtigen Weg. Von der Differenz der Funktionen benötigst du die Nullstellen:

$$0=f(x)-g(x)=x^3-9x-mx=x^3-(9+m)x=x\cdot\left[x^2-(m+9)\right]$$$$0=x\cdot(x-\sqrt{m+9})\cdot(x+\sqrt{m+9})$$Da \(m>0\) sein soll, hast du also 3 Schnittpunkte. Die Fläche zwischen den Kurven ist:

$$F=\left|\int\limits_{-\sqrt{m+9}}^0\left(x^3-(9+m)x\right)dx\right|+\left|\int\limits_0^{\sqrt{m+9}}\left(x^3-(9+m)x\right)dx\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[\frac{x^4}{4}-\frac{9+m}{2}x^2\right]_{-\sqrt{m+9}}^0\right|+\left|\left[\frac{x^4}{4}-\frac{9+m}{2}x^2\right]_0^{\sqrt{m+9}}\right|$$$$\phantom{F}=\frac{1}{4}(m+9)^2+\frac{1}{4}(m+9)^2=\frac{1}{2}(m+9)^2$$Diese Fläche muss gleich 72 sein:$$72\stackrel{!}{=}F=\frac{1}{2}(m+9)^2$$$$(m+9)^2=144$$$$m+9=12$$$$m=3$$

Answer 4

Die Aufgabe ist nicht eindeutig. Das Integral $$  \int_{-a}^0 (f(x) - g(x)) dx  $$ gibt z.B für \( m=29 \) und \( a = -2 \) den Wert \( 72 \). Aber auch für \( a = -1 \) und \( m = \frac{271}{2} \)

Gibt es Integrationsgrenzen, die vorgegeben sind?