Vollständige induktion 1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=(1+2+...+n)^2

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:

1³+2³+3³+...+n³=(1+2+3+...+n)²

Irgendwie verwirrt mich diese Aufgabe wie fange ich hier an ?

Comments

Frage existiert bereits: https://www.mathelounge.de/32299/beweise-durch-vollstandige-induktion-1-3-2-3-n-3-1-2-n-2.

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Ja in Aufgabenstellung steht man muss es mit vollständiger induktion das beweisen.

Answer 1

wie fange ich hier an ?

Wie bei Induktionsaufgaben üblich mit dem Induktionsanfang.

Answer 2

Zu zeigen:

∑ (k = 1 bis n) k^3 = (∑ (k = 1 bis n) k)^2

Induktionsanfang: n = 1

∑ (k = 1 bis 1) k^3 = (∑ (k = 1 bis 1) k)^2
1^3 = (1)^2 → wahr

Induktionsschritt: n → n + 1

∑ (k = 1 bis n + 1) k^3 = (∑ (k = 1 bis n + 1) k)^2
∑ (k = 1 bis n) k^3 + (n + 1)^3 = (∑ (k = 1 bis n) k + (n + 1))^2
(∑ (k = 1 bis 1) k)^2 + (n + 1)^3 = (∑ (k = 1 bis n) k)^2 + 2·(∑ (k = 1 bis n) k)·(n + 1) + (n + 1)^2
(n + 1)^3 = 2·(n·(n + 1)/2)·(n + 1) + (n + 1)^2
(n + 1)^3 = n·(n + 1)·(n + 1) + (n + 1)^2
(n + 1)^3 = n·(n + 1)^2 + (n + 1)^2
(n + 1)^3 = (n + 1)·(n + 1)^2 → wahr

Comments

Der Aufwand verringert sich beträchtlich, wenn man rechts die Gaußsche Summenformel verwenden darf und nach dem Quadrieren gleich n²(n+1)²/4 hinschreibt.

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Ich verstehe das nicht kann man das nicht ohne summe Zeichen machen ?

Answer 3

Ohne Summenschreibweise:

\( \begin{aligned}           1^3+\dots+n^3+\left(n+1\right)^3 &= \left(1+\dots+n+\left(n+1\right)\right)^2 \cr \underline{\left(1^3+\dots+n^3\right)}+\left(n+1\right)^3 &= \left(\left(1+\dots+n\right)+\left(n+1\right)\right)^2 \cr                                     &= \underline{\left(1+\dots+n\right)^2}+2\left(1+\dots+n\right)\left(n+1\right)+\left(n+1\right)^2 \cr                        \left(n+1\right)^3 &= 2\left(1+\dots+n\right)\left(n+1\right)+\left(n+1\right)^2 \cr                         \left(n+1\right)^3 &= 2\cdot{n\left(n+1\right) \over 2}\cdot\left(n+1\right) + \left(n+1\right)^2 \cr                                     &= \left(n+1\right)\left(n+1\right)^2 \cr \end{aligned} \)

So eine Schreibweise ist nicht ideal. Gewöhne Dir das Summenzeichen an.