Integration mit der Substitutionsmethode

Question

Aufgabe:

Wie kann ich dieses Integral berechnen, da ich bei den 16 x im Zähler leider das Problem habe, dass es sich mithilfe der Substitution nicht weg kürzt.

\( \int\limits_{0}^{4} \) \( \frac{16x}{(x + 4)^2} \) dx

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre \( \int\limits_{0}^{4} \) 16x × z^(-2) Benötige ich hierbei noch die partielle Integration, da es sich um ein Produkt handelt? Komme leider nicht weiter, weil ich die partielle Integration noch nicht ganz verstanden habe.

Answer 1

Aloha :)

Teile das Integral so auf, dass du im Zähler die Ableitung vom Nenner stehen hast:$$I=\int\limits_0^4\frac{16x}{(x+4)^2}dx=\int\limits_0^4\frac{16x}{x^2+8x+16}dx=8\int\limits_0^4\frac{2x}{x^2+8x+16}dx$$$$\phantom{I}=8\int\limits_0^4\frac{2x+8-8}{x^2+8x+16}dx=8\left(\int\limits_0^4\frac{2x+8}{x^2+8x+16}dx-\int\limits_0^4\frac{8}{x^2+8x+16}dx\right)$$$$\phantom{I}=8\int\limits_0^4\frac{2x+8}{x^2+8x+16}dx-64\int\limits_0^4\frac{1}{(x+4)^2}dx$$Das erste Integral kannst du nun sofort hinschreiben, denn:\(\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C\). Beim zweiten Integral kannst du substituieren:$$u:=x+4\;\;;\;\;du=dx\;\;;\;\;u(0)=4\;\;;\;\;u(4)=8$$Wir führen dies nun durch:$$I=8\left[\;\ln\left|x^2+8x+16\right|\;\right]_0^4-64\int\limits_4^8\frac{1}{u^2}du=8\left[\;\ln\left|(x+4)^2\right|\;\right]_0^4-64\left[-\frac{1}{u}\right]_4^8$$$$\phantom{I}=8\left[\ln(64)-\ln(16)\right]+64\left[\frac{1}{8}-\frac{1}{4}\right]=8\ln\left(\frac{64}{16}\right)+64\cdot\left(-\frac{1}{8}\right)$$$$\phantom{I}=8\ln(4)-8=8(\ln(4)-1)\approx3,090355$$

Comments

okay vielen Dank!

Answer 2

Hallo,

Die Lösung ist auch mittlels Partialbruchzerlegung möglich:

Ansatz:

16x /(x+4)^2 = A/(x+4) +B/(x+4)^2

dann weiter mittles Einsetzmethode.