Primfaktorzerlegung, um alle durch 6 teilbaren Zahlen n ∈ N zu bestimmen, die genau 6 Teiler besitzen

Question

Aufgabe:

Verwenden Sie die Primfaktorzerlegung, um alle durch 6 teilbaren Zahlen n ∈ N zu
bestimmen, die genau 6 Teiler besitzen. Machen Sie fur alle Lösungen die Probe,
indem Sie jeweils alle Teiler angeben.

Problem/Ansatz:

Ich weiß hier leider nicht weiter.

Answer 1

Wenn sich eine Zahl z als Produkt von Potenzen von nur zwei verschiedenen Primzahlen schreiben lässt, also wenn

\(z=p_1^a\cdot p_2^b\) gilt, dann hat z genau (a+1)(b+1) Teiler.

(Wenn einfach nur \(z=p^n\) gilt, hat z genau n+1 Teiler.)

Wenn \(z=p_1^a\cdot p_2^b \cdot p_3^c\) gilt, dann hat z genau (a+1)(b+1)(c+1) Teiler usw.

Wenn z durch 6 teilbar sein soll, muss z die Primfaktoren 2 und 3 enthalten.

Und jetzt überlege alle Möglichkeiten, wie man nach den obigen Formeln auf genau 6 Teiler kommen kann.

Answer 2

Eine Zahl hat 6 Teiler, wenn das Produkt der um 1 vermehrten Exponenten in ihrer Primzahlzerlegung 6 ist. Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Beides erfüllen 2²·3¹ und 2¹·3².  

Answer 3

6 hat 4 Teiler.

Wenn außer 2 und 3 ein weiterer Primteiler hinzu käme, wären es schon 8 Teiler. also kann nur noch eine 2 oder 3 hinzu kommen.

D.h. 2*2*3 und 2*3*3