Aufgabe: Hallo,
ich habe hier ein paar Aufgaben, zu denen ich bitte allesamt Ansätze bräuchte.
Ich weiß, einfach nach stumpfen Rechenwegen mit Lösungen fragen ist hier nicht besonders beliebt, und auch zurecht. Aber es sind Beispielaufgaben aus einer Übungsklausur. Ich wäre dankbar, wenn trotzdem jemand die Rechenwege für jede Aufgabe mitteilt oder zumindest Ansätze, damit ich es an diesen Aufgaben erlernen, und das angewendete Schema auf andere Aufgaben selbstständig anwenden kann.
Dies ist meine Methode des Erlernens. Einmal gezeigt bekommen, dann verstehen lernen, und auf andere Aufgaben anwenden.
MFG
a) Sei die Folge \(a_n\) monoton wachsend und durch 3 nach oben beschränkt. Dann gilt \(\lim_{n \to \infty} a_n = 3\).
b) Sei \(q \in ]0,1[\) eine Konstante und \(a_n\) eine Folge mit \(0 \le a_{n+1} \le q \cdot a_n\) für alle \(n \in \mathbb N\). Dann ist \(a_n\) eine Nullfolge.
c) Sei die konvergente Folge \(a_n\) rekursiv definiert durch \(a_0 = 5\) und \(a_{n+1} = \frac 12 \left(a_n + \frac 5{a_n} \right)\) für alle \(n \in \mathbb N\). Dann gilt \(\lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{5} \) .
d) Eine Folge \(a_n\) ist genau dann eine Nullfolge, wenn die Folge \(|a_n|\) eine Nullfolge ist.
e) Konvergieren die Reihen \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n} \) und \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(b_n - a_n)} \), so konvergiert auch die Reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{b_n} \).
