Schneiden sich die Ebenen E1 und E2 bestimmen Sie gegebenenfalls eine Gleichung der Schnittgerade

Question

E1:(8/0/2)+r(-4/1/1)+s(5/0/-1)

E2:(1/0/1)+r(-3/0/1)+(1/4/1)

Comments

Hallo Anna,

kannst Du mir bitte noch sagen, wie Du mit den Geoknecht3D-Szenen in meinen Antworten zurecht kommst - siehe z.B. die Antwort hier.

Answer 1

(8/0/2)+r(-4/1/1)+s(5/0/-1)=(1/0/1)+u(-3/0/1)+v(1/4/1)

ergibt 3 Koordinatengleichungen mit 4 Unbekannten.

Reduziere dieses System auf eine Gleichung mit r und s.

Setze für r in die erste Ebenengleichung ein.

Nach etwas Umformung ergibt sich eine Geradengleichung.

Answer 2

[8, 0, 2] + r·[-4, 1, 1] + s·[5, 0, -1] = [1, 0, 1] + t·[-3, 0, 1] + u·[1, 4, 1]

- 4·r + 5·s + 3·t - u + 7 = 0
r - 4·u = 0 --> r = 4·u
r - s - t - u + 1 = 0

r also ersetzen

- 4·(4·u) + 5·s + 3·t - u + 7 = 0
(4·u) - s - t - u + 1 = 0

5*II + I

- 2·t - 2·u + 12 = 0 --> u = 6 - t

Das kann man jetzt zum Ersetzen benutzen

g: X = [1, 0, 1] + t·[-3, 0, 1] + (6 - t)·[1, 4, 1] = [7, 24, 7] + t·[-4, -4, 0]

Answer 3

Aloha :)

$$E_1:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}8\\0\\2\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}-4\\1\\1\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}5\\0\\-1\end{array}\right)\quad;\quad E_1:\;x_1-x_2+5x_3=18$$$$E_2:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)+u\left(\begin{array}{c}-3\\0\\1\end{array}\right)+v\left(\begin{array}{c}1\\4\\1\end{array}\right)\quad;\quad E_2:\;4x_1-4x_2+12x_3=16$$Bringe die beiden Koordinatengleichungen auf Stufenform:$$\left(\begin{array}{c}x_1 & x_2 & x_3 & =\\\hline1 & -1 & 5 & 18\\4 & -4 & 12 & 16\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{}\\{:4}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{c}x_1 & x_2 & x_3 & =\\\hline1 & -1 & 5 & 18\\1 & -1 & 3 & 4\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{}\\{-\text{Zeile 1}}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{c}x_1 & x_2 & x_3 & =\\\hline1 & -1 & 5 & 18\\0 & 0 & -2 & -14\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{}\\{:(-2)}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{c}x_1 & x_2 & x_3 & =\\\hline1 & -1 & 5 & 18\\0 & 0 & 1 & 7\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{-5\cdot\text{Zeile 2}}\\{}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{c}x_1 & x_2 & x_3 & =\\\hline1 & -1 & 0 & -17\\0 & 0 & 1 & 7\end{array}\right)$$Wir lesen ab:$$x_1-x_2=-17\quad;\quad x_3=7$$Wenn wir \(x_1\) frei wählen, ist \(x_2=17+x_1\). Der Wert \(x_3=7\) ist fest. Also lautet die Schnittgerade:$$\vec x=\left(\begin{array}{c}x_1\\17+x_1\\7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\17\\7\end{array}\right)+x_1\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)$$